226 
en tout point la dérivée seconde généralisée /, (A) = f (0) — f (0). 
d d 
4) est compris, sur Q,, entre ——— et ——. D'autre part, les nombres 
Ade pris, sur Q, jai *' 491 utre par ibr 
dérivés de ~,(A) sont ceux de ~(A) diminuês de /(4,). Done, p‚(9) 
dérivée de F'(@) existe en tout point de Q, et possède, quels que 
soient le point 6, de Q, et ensemble w(4,) ayant l'épaisseur 1 en 
6,, au moins un nombre dérivé spécial a w(A,) et differant de f(A 
d’au moins d en valeur absolue. Ce nombre dérivé vaut done au 
. 
l 
D'après | £,(0)| at quel que soit 9 sur Q,, il est possible de 
d 
trouver un nombre s’ >0, tel que l'ensemble w‚(0, s’) << —— 121 contienne 
une portion K de Q,.w,(,s’) est par définition le maximum de 
RO, 0 BEEN Nara ed a 2F, (A) pour 0 <= | au | Zal 
u 
L’ensemble parfait K jouit en résumé des propriétés suivantes: 
1° K a une mesure positive (K étant portion de Q,, épais en 
lui-méme). 
2° Il existe une-fonction (4) et un nombre positif s’ tel que la 
d 
fonction w, (0, s’) relative a F’, est, en tout point de K, inférieure a —— Ta" 
3° F,(0) possède en tout point de K une dérivée générale 
(ordinaire) g,(6). 
Quel que soit 9, sur K, et ensemble w(d,) d’épaisseur 1 en 
6,, p‚(O) possède en 4, un RE dérivé spécial à w(A,) et dont 
la valeur absolue surpasse a 
Nous allons montrer l’incompatibilité de ces conditions simultanées. 
L’ensemble des points de K où K a l'épaisseur 1, a même mesure 
que K, done une mesure positive. L’ensemble j(s) des points 6, de 
K tels que, dans tout intervalle contenant 6, et de longueur inférieure 
. ld . A 5 
a s(> 0), lépaisseur de A soit supérieure a—, cet ensemble a une 
6 
mesure positive dès que s est assez petit, et cette mesure tend vers 
celle de AK quand s tend vers 0. Supposons s << s’ et j(s) épais. 
Soit 4, un point où j(s) a lui-même l'épaisseur 1. Je dis que, si 
#0) (95) 
a ses limites d’indétermi- 
0—6, 
6 tend vers 4, sans quitter j(s), 
