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! 120 120 deet 
nation comprises entre — —— d et ——d, ce qui est incompatible avec 
121 121 
la 4e condition ci-dessus; car l’épaisseur de j(s) en 4, est 1. 
Supposons |6 —0,|<s, 6 et 6, étant sur j(s). Puisque K a une 
épaisseur supérieure a — dans tout intervalle contenant 6 ou 6, et 
- Ol ox 
de longueur inférieure a s, nous pouvons trouver sur A deux suites 
de nombres 0+ hn, 0, + A, de manière que 
n Ln 
ie —k = O6,—6, 22E ot ac en SNG 
ht ken 
d 
D’apres w(0’,s) << zor oe! que soit 6’ sur K, on a done (a=3): 
d 
ge (4, G. = 6) Pf, (6) + ee (6, ET 6) 
et de même 
d 
Q, (A5 0 — 6.) —= fp) (,) + 60 J! za = G3): 
D’apres l’égalité des premiers membres de ces deux relations 
p,‚ (6) — p‚ (4,) ie 
a0 OO Oe 1). 
agi Me ee, 
Cette relation est exacte quels que soient @ et 4, sur 7(s), si 
lB—0,|<s. Done les nombres dérivés de p, (6) au point 6,, spécia- 
lement a j (s), sont inférieurs a d en valeur absolue, ce qui est 
oppose a l’hypothese 4. 
En résumé, l'ensemble des points où F'(@) ne possède pas une 
dérivée ordinaire ~(9) est de mesure nulle. Soit E cet ensemble, et 
E, son complémentaire. La fonction 9(9), définie seulement sur Ey, 
possède une derivée approximative egale a f(@), sauf éventuellement 
en des points formant un ensemble de mesure nulle. 
Soit maintenant P un ensemble parfait discontinu quelconque, 
situé sur l’axe des 6. Soit M un point de P. Ajoutons a P son 
symétrique par rapport à M. Nous obtenons un ensemble parfait 
discontinu P(M), symétrique par rapport a J. M est done un point 
de seconde espèce (ou limite des deux cdtés) de P(M). Pour chacun 
des intervalles contigus 7 de P(M) formons le rapport /(z) des distances 
respectives & M de l’extrémité de 7 la plus éloignée et de l'extrémité 
de 7 la plus rapprochée de J. 
1d est borné indépendamment de z et de M, si la distance de 2 
