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a M surpasse un nombre donné. Quand # tend vers MV, / (i) possède 
une plus grande limite 2(M/) que nous appellerons indice de Pen M. 
L’indice est un nombre au moins égal a 1 et peut être infini, 
méme en tout point de P. 
6 étant labscisse de M, Vindice A(M) peut encore être ainsi 
caractérisé (s'il est fini). Si petit que soit e positif, il existe une suite 
de points 0 + Ah, situés sur P, tendant vers Met tels que, pour toute 
hn 
valeur den, 1 < es <4(M) He. Il n'existe pas de suite ana- 
——| < A(M) —«. 
Anti 
En tout point (sauf peut-être aux points extrêmes) d’une portion 
P, de P, Vindice de P, et celui de P coincident. 
Si P est épais, 4 (17) = 1 en tous les points M où l’épaisseur de 
P est 1. Mais, même si P est épais en lui-même, l'indice 4 (JZ) peut 
être infini en certains points, et même en un ensemble dense de 
points de P. 
On montre, selon un type de raisonnement maintes fois rencontré 
(voir par exemple, le Premier Théoreme des nombres dérivés, 
Journal de Jordan, 1916) les propositions suivantes: 
logue telle que 1 << 
1. Si Pensemble-des points M où 2(M)= = est partout dense sur 
P, cet ensemble est un résiduel de P. De même pour l'ensemble 
MM Sta > 1 
2. Si P possède en chacun de ses points un indice fini, l'ensemble 
K des points de P au voisinage desquels cet indice est non borné, 
K est non dense sur P. 
3. Si Pindice de P est en tout point inférieur à un nombre fixe 
a > 1, il existe un nombre 7 positif et une portion P, de P, tels 
que, 1° si 4 est quelconque sur P,, 2° si 6’ est quelconque à la 
fois sur P et dans l'intervalle A—n, 0 + ny, il ea un nombre 
6’’ situé sur P et vérifiant les inégalités 1 < a ZU 
Car l’inexactitude de cette conclusion entrainerait sur un résiduel 
de P, linégalité A(M)> «. 
La proposition precedente peut être appliquée a toute portion = de 
P. Les portions P, pour lesquelles existe un nombre 1 sont done 
partout denses sur P. 
L'application de ces remarques a l'étude de F'(0) est immédiate. 
Il est évident qu'en tout point de P où [indice est fini et autour 
duquel, sur P, w(A) est borné, p(0) existe. Donec: 
