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Si l'ensemble des points de P où l'indice de P est fini, est partout 
dense sur P, Pensemble E, des points d existence de p (6) est partout 
dense sur P. 
Nous retrouvons comme cas particulier le théorème que l'ensemble 
E‚ des points d'existence de ~ (A) est partout dense sur tout ensemble 
épais, eten conséquence, que 4, complémentairede ‚est de mesurenulle, 
Si un ensemble parfait P possède en chacun de ses points un indice 
fini, ensemble des points où (9) n'eviste pas, ou est discontinue 
sur P, ou possède spécialement à P au moins un nombre dérivé 
infini, cet ensemble est non dense sur P. 
De plus, l'ensemble des points où (9) est dérivable spécialement 
a P et où sa deérivée spéciale à P est égale a f(9), cet ensemble est 
partout dense sur P. 
Comme exemple particulierement simple d’ensemble dont l’indice 
est partout fini, nous citerons l'ensemble parfait classique de Cantor, 
obtenu en retranchant d'un segment continu lintervalle occupant 
le tiers médian de ce segment, puis en recommencant l'opération 
sur chacun des deux segments conservés et en la répétant indéfini- 
ment. 4(//) est pour cet ensemble P, au plus égal a $ en tout 
point. Dans le cas le plus général, a eaiste sur P, un ensemble 
fermé non dense K,, tel que sur toute portion de P, sans points 
communs avec K, HF’ (0)=(Q) existe, est continue et doude spéciale- 
ment à P, de nombres dérivés finis; de plus, en tous les points d'un 
ensemble partout dense sur P,, p(@) admet f (0) pour deérivée spéciale a P,. 
Soit P un ensemble parfait quelconque, M un de ses points, 0 
labscisse de MM, P(M) l'ensemble parfait obtenu comme il a été 
dit plus haut. 
Pour chaque intervalle vours(O< r< s) contiguà P(M) et pour lequel 
(id) > 2 (on pourrait remplacer 2 par tout autre nombre indépendant 
N 2 
Rie \ 5 . , 
superieur a 1), formons le rapport eet —= 4 (2) du carre “de la 
r—- 
distance a M de l'extrémité s de 7z la plus éloignée de M, a la 
distance à M de l’extrémité + de 7 la plus proche de M. 
Il est aisé de voir que si la série uw (2) est convergente, il est pos- 
sible de déterminer une suite Ó + h, située sur P et telle que la 
2 
série soit convergente. La réciproque est évidente. Nous dirons 
hn4a 
que P est normal ou anormal en M selon que la série u (2) relative 
a M est convergente ou divergente. 
Toute portion de P contenant M entre ses extrémités est, en méme 
temps que P, normale ou anormale en M. 
