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On montre sans peine que, si un ensemble P est normal en chacun 
de ses points, il existe, si petit que soit le nombre positif donné s, 
un nombre positif 4 et une portion P, de P, tels que, pour toute 
valeur de @ située sur P, et quelque soit 6’ sur P entre 6—y et 
0 + 1, il est possible de trouver une suite 6+h=—6’,O0+h,,..., 
heh edig haa 
0 + h. ., de points situés sur P et tels que la série ree ih, + 
by Uy 
fi . . MD as 
+...+—— +... ait une somme inférieure a s. 
antal 
De là résulte que, st wn ensemble parfait P est normal en chacun 
de ses points, l'ensemble des points de P ou p(0) est non existante 
ou discontinue sur P, cet ensemble est non dense sur P. 
Considérons un ensemble parfait P dont la construction satisfait’ 
aux conditions suivantes. Soient &,,?,,-.., Bn... une suite de nom- 
bres positifs inférieurs à '/,, el o, un segment quelconque. A la pre- 
mière opération, nous retranchons de 5, un intervaile, de manière 
qu’il subsiste sur v, deux segments 5, ayant chacun une longueur 
supérieure a 8,5, A la seconde opération, nous extrayons de chaque 
segment o, un intervalle, de facon que chacun des deux segments 
restants surpasse ce même segment o, multiplié par p,...A la n° 
fois, nous opérons sur 2" segments o, conservés a la suite de l'opé- 
ration précédente. De chacun de ces segments, extrayons un inter- 
valle de manière que chacun des deux segments 6,4; restants sur- 
passe le segment o, d'où il est extrait, multiplié par @,. Et ainsi 
indéfiniment. 
1°. Si la plus petite limite de 8, pour 7 infini est positive, et 
égale a u, P possède en chacun de ses points un indice au plus 
a 1p" 
egal a a= aa 
a 
2°. Si Oni = 6, 8,, P est normal ou anormal en chacun de ses 
e poe B, Bs CS [ar . 
points, selon que la série Tt ee est convergente ou divergente. 
n+1 
Si done §,==2-*", P est normal ou anormal selon que k < 2 ou 
que k < 2. 
L’ensemble E des points de non existence de (0) est, nous 
avons vu, non dense sur le continu. ll se décompose en un 
ensemble non dense sur tout ensemble parfait (ou clairsemé) G, et 
un ensemble dense en lui-même G. Soit HW le dérivé de G. I est 
parfait et G est partout dense sur JZ. MI est anormal en tous les 
poins de G, sauf éventuellement en certains points formant un 
ensemble g non dense sur 1, 
