Mathematics. — “Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von 
Flächen in sich’ (siebente Mitteilung’)). By Prof. L. E. J. 
Brouwer. 
(Communicated at the meeting of June 26, 1920). 
Im folgenden gebe ich die Charakterisierung aller Klassen von 
eindeutigen stetigen Abbildungen einer beliebig vorgegebenen end- 
lichfach zusammenhängenden Fläche u auf eine beliebig vorgegebene, 
endlichfach zusammenhängende Fläche u’. 
Sei O ein Punkt von u, # die Gruppe der geschlossenen stetigen 
Kurven von u durch O (welche in bezug auf F nur dann als 
verschieden betrachtet werden, wenn sie sich nicht mittels stetiger 
Modifizierung unter Festhaltung von O ineinander überführen lassen), 
N eine ,,Normalbasis’ von F, welche aus den, falls u zweiseitig 
ist, der Fundamentalrelation 
—1 gl —1 —1 poe 
ate ts aa ( a aan 2 == 
Le a, Os a, Cees n n—tI EE gel Ca 
und, falls w einseitig ist, der Fundamentalrelation 
1 
1 y2 2 2 ae 
Cler POMEL, C ; oe == 
a, 2 n—1 oF fee peas 
genügenden Kurven a,,d,,... Ann (die wir in dieser Reihenfolge 
1) Vgl. diese Proceedings XI, S. 788; XII, S. 286; XIII, S. 767; XIV, S. 300; 
XV, S. 352; XXII, S. 811. Hinsichtlich der fiinften dieser Mitteilungen kann 
bemerkt werden, dass der dortige Beweis auch unabhängig vom LüROTH-CLEBSCH- 
schen Theorem gefiihrt werden kann, nämlich so: a.a.0. S. 357 Z. 21 wählen 
wir auf «’ eine solche einfache geschlossene Kurve k, welche ein alle Bildpunkte 
von Rändern und Verzweigungspunkten der g, sowie alle nirgends dichten Bilder 
von g, enthaltendes Gebiet g begrenzt, und ziehen k+g stetig zusammen in einen 
Punkt P von g. Die durch diese stetige Kontraktion von k + g bestimmte stetige 
Aenderung von «, führt zu einer ,,primitiven Abbildung «, von u auf w'”, für 
welche die ausserhalb voneinander gelegenen Innengebiete G, einer endlichen Zahl 
einander nicht treffender einfacher geschlossener Kurven von w je eineindeutig mit 
dem Grade +1 auf die punktierte Fläche «’ und der Rest von w auf den Punkt P 
abgebildet wird. Sodann führen wir mittels wiederholter stetiger Verschmelzungen, 
jedesmal von einem durch ~, mit dem Grade + 1 und einem durch «, mit dem 
Grade — 1 abgebildeten G, , x, in eine „homogen-primitive Abbildung %q VON u 
auf w’” über, deren Gebiete G, entweder alle mit dem Grade + 1 oder alle mit 
dem Grade — 1 abgebildet werden. Dass alie homogen-primitiven Abbildungen 
neten Grades von « auf «’ zur selben Klasse gehören, leuchtet unmittelbar ein, 
In der sechsten Mitteilung ist S. 814 Fussnote *) statt Math. Annalen 81 zu 
lesen Math. Annalen 82. 
