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Rt >0 regulär, in jeder Halbebene Rt2 6, >0 beschriinkt ist und 
die Periode — 1 besitzt, ist die Thetanullfunktion J, (int). 
Jt 
Bevor wir ein allgemeineres Theorem über die Gleichung (1) formu- 
lieren, schicken wir folgende Verallgemeinerung der bekannten 
Larraceschen Transformation für den Fall uneigentlicher Integrabilität 
beim Nullpunkt voraus. 
Es sei ¢ (u) eine für u > 0 definierte reelle oder komplexe Funktion, 
die in jedem endlichen Intervall 0 <a <u<g eigentlich integrabel 
im Rremannschen Sinne ist. Ferner existiere für 0 < u, 
tn {0 (3) a (¢ >)... EN 
und 
Lim fe (a) a fiir, Rao . 
sodass also ’ 
f(s) = =o “@p (u) sed al pf ep (u) du 
fir o > 0, existiert a absolut konvergiert. Dann nennen wir /(s) 
die Larracesche Z'ransformierte von p(u) und bezeichnen sie kurz 
mit L(¢); p(u) selbst heisse die determinierende Funktion '). f(s) ist 
für o > 6, regulär und beliebig oft unter dem Integralzeichen 
differenzierbar, insbesondere ist 
— f'(s) re ug (u) du, 
0 
also 
Lu) Dn ne 
wobei rechts Differentiation nach s gemeint ist. 
Sind p (u) und w (u) zwei Funktionen, deren Larpracrsche Trans- 
formierte im obigen Sinne existieren, so ist, wenn in dem Faltungs- 
integral der Integrationsweg reell ist: 
L(y). Ly =L(p*y)?). . . 2... UD 
1) Vgl. N. H. Ase, Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes. 
(Euvres completes, t. Il, pp. 67—81. 
*) Wegen der oben gemachten Voraussetzung (d), dass g(w) und b(w) in den 
Nullpunkt hineinintegriert werden können, existiert die Faltungsfunktion 9 sk , da an 
jedem Ende des Integrationsintervalls eine der beiden Funktionen beschrankt bleibt. 
