Witrtcn. wir können iiunehinon, dass die Function unter «ieni Wnrzelzeiihen ihrem Grade 

 nach durch eine ungerade Zahl bestiiniut werde. 



2. 



Wir bezeichnen mit .< die Wurzelgrösae 



Ä = ^{x - a,){x — a.) . . . (x — tttp + t) . 

 wobei die 2j< - 1 (»rossen « alle verschiedene , sonst aber beliebig wählbare complexe Werthe 

 haben mögen, z = y -f- ^« nehmen wir unbeschränkt variabel und repräsentiren seine Werthe 

 nach der Gauss' sehen Methode durch die Puncte einer unl)egränzten Ebene, die wir im Un- 

 endlichen geschlossen annehmen , so dass dem Werthe x = oo auch nur wn Punkt entspricht. 



Wir bilden eine der geschlcsseneu Flächen 1\ die die Verzweigungsart der Function .f 

 von X darstellen können. Diese Flächen sind zweiblättrige und haben die 2^ -+- 2 Puncte 



jr = «,. J =ct, X = K-,;,^ ,, X = X 



zu Ver/weigungspuncten. Wir wählen von all den möglieben Flächen diejenige, bei der die 

 Blätter an den ;> + 1 Stellen 



«, ß;. (( «,, ..... «2;,.l X . 



sich durcheinander durch.setzen . uiiilla?5tii diese yj 1 L'ebergangslinien geradlinig verlaufen. 

 Dann ist s in dieser Fläche T. sobald man seinen Werth für einen Punct a derselben als 

 s„ oder — .«o willkürlich angenommen, eine einwerthige und stetige (d. li. nidit längs einer 

 Linie unstetige) Function des Ortes. Zu jedem W^ertlie x gehören zwei Punkte der Fläche, 

 die übereinander liegen, der eine im obern. der andere im untern Blatte. Wir bezeichnen 

 zwei solche, demselben W^^rthe x entsprechende Puncte mit x. x und x, — .s-. Zu beiden 



Seiten einer Linie «,,_, «,, , die für jedes Blatt den Character einer Schnittlinie 



hat, stossen im obern wie im untern Blatte entgegengesetzte Werthe von *• an. 



Wie .* ist jede aus .*«■ und x rational zusammengesetzte Function in T einwerthig uirI 

 slt'tig oder wie T verzweigt. Umgekehrt lässt sich jede in T einwerthige und stetige Func- 

 tion, die in einer endlichen Anzahl von Punkten unendlich von endlicher Ordnung wird, 

 rational durch s und x ausdrücken. Eine solche, wie T verzweigte Function wird ebensooft 

 in T unendlich klein von der ersten Ordnung (0') wie unendlich gross von der ersten Ord- 

 nung ((»').(vgl. ]{. 2. pag. 17). So wird z. R. x- — « in zwei Punkten der Fläche 0', 

 X — «y dagegen im Puncte a, 0*; beide Functionen werden oo- für x= x> , da diesem Werthe 

 ein Ver/weigungspunct entspricht, s wird cc^f ' ' für x = cc und 0' für ilie 2p * 1 im End- 

 lichen liegenden Verzweigungspuncte. 



