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Die in T einwerthigen und stetigen Functionen, die in einer endlichen Anzahl von Puncten 

 unendlich von endlicher Ordnung werden, sind also lediglich die rationalen Functionen von 

 s und X. Eine solche ist in der allgemeinen Form 



yis -f y» 

 enthalten, wo t,, c,, y„ y., rationale ganze Functionen von x bezeichnen. Multipliciren wir Zähler 

 und Nenner von F mit y,s — y,, so resultivt 



^,^ C,s ^ C, 

 (p(x) 

 wo C, C.,, q)(x) rationale ganze Functionen von x bezeichnen, die keinen gemeinschaftlichen 

 Divisor x — a haben. In dieser letztern Form werden wir die erwähnten , wie T verzweigten 

 Functionen voraussetzen. Man kann die in dem Ausdrucke F enthaltenen Constanteu stets 

 so bestimmen, dass er eine Function darstellt, die in n beliebig wählbaren Puncten der 

 Fläche T, von denen keine zwei eine solche Lage haben wie a;', s', : x', — s', c»' wird, vor- 

 ausgesetzt n > p. Bezeichnen wir diese Puncto durch x,, s,; . . . ; x„, s„; und setzen 



<p(x) — {x — Xi){x — x«) ■ ■ ■ {x — x„) , 

 Bo ist der Zähler von F so zu bestimmen, dass er für x = oo von derselben Ordnung un- 

 endlich wird wie der Nenner, und ferner so, dass er für die n Puncte x„ — s,; ■ ■ ■ ; x„, — s„\ 

 für die der Nenner noch 0' wird, für die i*' aber endlich bleiben soll, auch 0' wird. Dann 

 enthält der Zähler noch n — p willkürliche Constante, abgesehen von einem constanteu Factor. 

 Für n>p ist also die verlaugte Bestimmung immer durchführbar: und es existiren dann 

 n — p + l linearunabhängige Functionen, die für die m Puncte oo' werden. Fürn<^;muss 

 für's erste C, = sein , indem sonst F für a; = oo nicht endlich bleiben würde , und es geht 

 dann F über in eine rationale Function von x allein, in 



q){x) 

 Eine solche wird, wenn sie für einen Punct x,s unendlich oder ü wird, auch für den Puuct 

 X, — s unendlich oder von derselben Ordnung. Es, existiren demnach keine wie T ver- 

 zweigte Functionen, die für p oder weniger als p beliebig wählbare Puncte, zwischen deren 

 Lagen keine besonderen Beziehungen stattfinden, oo' oder 0' werden. 



3. 



Bei einer beliebigen geschlossenen Fläche T, die die Verzweigung einer algebraischen 

 Function darstellen kann , existirt zwischen der Anzahl n der Blätter, der Anzahl w der ein- 



