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für dieselben ^j Puncte 0' werden, so ist das Constantensvitem (.< i -k';- einen dorn Coustanteu- 

 systeme (f) der andern congruent. 



d) Lassen wir sub b) den Punet x, s mit dem Puncte x,,, a^ zusammenfallen, so 

 ergeben sich, wenn man berücksichtigt, dass die ^-Function uugeändert bleibt, wenn man 

 sämmtliche Argumente in's Entgegengesetzte verwandelt, die Gleichungen 



&{- I-'h'" - k} = , »['l''u^"^ -\~ k] = 0, 

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die für jede beliebige Lage der i* - 1 Puncte gelten, denn sie folgen auch noch, wenn die 



^-Function sub b) nicht mu- für die }> Puncte, sondern für jeden Werth von x versch^vindet. 



Wir untersuchen zunächst die Beziehungen, die zwischen dem Constantensysteme (k) 



und den Anfangswerthen der Functionen h herrschen. Verstehen wir unter a einen der 



2p ->- 2 Verzweigungspuncte der Fläche T und unter u eine der Functionen m, . . . . , Vp, 



so ist 



x.s X, — s 



du 



I du , ( du , 



J a dx Ja dx 



wenn die beiden lutegTationswege, der eine von « bis x, s, der zweite von a bis x, — s, 

 von denen keiner sich selbst schneiden soll, in solcher Beziehung zu einander stehen, dass 

 einem jeden Puncte x', s' des einen ein Punct x', — i' des andern entspricht und umgekehrt. 

 Läge z. B. der Punct a; , s im obern Blatte von T und der Litegrationsweg von « bis jr , s 

 ebenfalls mit all seinen Theilen im obern Blatte, so müsste den aufgestellten Bedingungen 

 gemäss der Integrationsweg von a bis x, — s mit all seinen Theilen im untern Blatte 

 genau unter dem Wege von cc bis x, s- verlaufen. Solche Wege von einem Punkte « aus 

 sind nur möglich , wenn derselbe ein Yerzweigungspunct ist. Es wird dann auf der ganzen 



Strecke von « bis x , s die Function ^ Werthe durchlaufen, die genau entgegengesetzt sind 

 ax 



den Werthen, die sie auf der Strecke von k bis x, — s durchläuft. In Folge dessen zer- 

 stören sich die Elemente der beiden Integi-ale gegenseitig, ihre Summe ist 0. Unter den 

 festgesetzten Bediuguugen hat man also 



diip + l'dup = I ... I 0. 



Ja Ja J K J 



Diese Congruenzrelation bleibt bestehen, wenn man die Integrale durch solche ersetzt, deren 

 Integrationswege vollständig in T verlaufen. Man hat also auch 



