schwindet die S-Fuiictiuu gemäss den Gleicliimgeii (</'.). Dem Lehrsatze a) zufolge muss dann 

 das Constautensystem (2" h""" '" — l) dieser «--Fimction der Cougruenz 

 [lu'"'-''' - k) = (i«/'" ^'H- k) 



genügen, was nur möglich, wenn 



(_ Ä) ^ (^ /,) , (2fc) = (0) . 

 Damit ist bewiesen, dass wenn man zur gemeinschaftlichen untern Grenze der Integrale, 

 die die Functionen u darstellen, einen der 2p + 2 Verzweigungspuncte nimmt, das System 

 der Grössen (fc) immer einem Systeme correspondireuder Halber der Periodicitätsmodulen 

 congruent sein wird. Da man bei (k) von einem Systeme con-espondii-ender Ganzer der Perio- 

 dicitätsmodulen absehen kann, indem eine ^-Function durch Aenderung ihrer Argumente um 

 ein solches System nur einen allenthalben endlichen Factor erlangt, folglich keine Aenderung 

 ihrer Nullpuncte erleidet, so kann man das System (k) durch eine Gharacteristik (x) er- 

 setzen, auch in den Ö'-Functionen, ohne die Nullpuncte zu ändern, beliebig (— fc) statt (k) 

 schreiben. Zu welcher Gruppe congruenter Characteristiken nun (jc) gehört, wird, wenn 

 die untere Grenze der Integrale u festgesetzt ist (bei uns der Verzweigungspunct oo), ledig- 

 lich noch von der Wahl des Querschnittsystems abhängen, durch das man T in T' zerlegt. 

 (x) wii-d also zu den Characteristiken («,), die ebenfalls von der Zerlegung der Fläche ab- 

 hängig sind, in einer bestimmten Beziehung stehen. Diese Beziehung werden wir im Laufe 

 der Untersuchung auffinden. 



8. 



Gehen wir zurück auf die Function 



(1.) ^[{n''' - i u''-'"- k] = &l— u'-'-i- I «^"''"q: jt]i, 



1 1 



und es mögen für's erste die p Puncte x^, s^ eine solche Lage haben , dass diese Function 

 nicht identisch für jeden Werth von x verschwindet. Untersuchen wir, welche Lagenände- 

 rungen die p Puncte erleiden können, ohne dass die Function für jeden Werth von x ver- 

 schwindet. Zu dem Ende bringen wir (1.) der Cougruenz 



(- u'-'^-r i «•'""' X k) = (u'P-'p - ?/'' -^ 'i-V"'-"" q: k) 

 gemäss in die Form 

 (1'.) &[h'i'-'/'-~ u'''—''^\t'""''''- k)) , 



