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(2: *"•"'•'') = ( ^ '"" " -^ ""•" - ^' ""■■ '" - >*') . 

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womit die obige Aufgabe gelost erscheint. Da die m Puncte x,, s; willkürlich gewählt weiden 

 können, so lassen sich in jedem der beiden Fälle m der Puncte |^, ö^ beliebig annehmen: 

 t^^ g^ = x'„ si ; . . . ; l« , öm = Jf mi ^m Z- B. : dann sind durch diese Annahme die noch 

 übrigen p — m — 1 Puncte £, ö, wie leicht zu zeigen, eindmiifi bestimmt. Auf dieses 

 Resultat woUeu wir den von Riemann, in der Arbeit: » Ueher das Verschwinden der Theta- 

 FnnctioiHfi * 6., aufgestellten Satz anwenden, der sich für unsern Fall so aussprechen lässt: 

 > Ist 9 [r] = 0, so lassen sich p — 1 Puncte ^.,6, so bestimmen , dass 



(,) = (lu^r.". ^ k) . 



Wenn wi und nicht mehr von diesen Puncten beliebig gewählt werden können, so sind ausser 

 der Function 9[v) auch ihre ersten bis m*«° Derivirten sämmtlich gleich XuU für (v) = (>). 

 die (»» -^ 1)»«" aber nicht sämmtlich gleich Null. « 



Durch Anwendung dieses Satzes erhalten wir im vorliegenden Falle das für die späteren 

 Untersuchungen wichtige Resultat : 



>Substituirt man in der Function » [v] an Stelle von (v) ein Orössensystem 



(r) = [±~'l'\i"-"' ± k) oder (/) ^ (±''F'n''-'^ - k) , 

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(wobei vorausgesetzt ist, dass von den mit x,, s„ bezeichneten Puncten in derselben Summe 



keine zwei eine solche Lage wie x',s' : x', — s' besitzen, und keiner von ihnen der Punct 



oc ist) so verschwinden durch diese Substitution : (r) = (>-) : die Function 9 {v] und ihre 



sämmtlichen ersten bis »»•«'> Derivirten. nicht aber die sämmtlichen (»» -4- 1)'*° Derivirten. c 



9. 



Die Kenntniss der »-Function ermöglicht es, Functionen zu untersuchen, die in T' ein- 

 werthig und stetig sind, für eine gleiche Anzahl von Punct«n oo' und 0' werden, und beim 

 Ueberschreiten der Querschnitte constante Factoren erlangen. Zn dem Ende betrachten wir 

 den Ausdruck 



p ^ »(>«-e"'} d(«-e'"} ■ . ■ 9[,i-e^'\ 



