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in dem die e und / Constante bezeichnen, über deren Werthe später verfügt werden soll. 

 Wir setzen voraus, dass keine der ^-Functionen identisch verschwindet. Dann wird der Zähler 

 von P 0' für rp Pimcte, der Nenner ebenfalls 0' für rp Puncte; zu beiden Seiten der Linien 

 a und c hat P gleiche "Werthe, beim Ueberschreiten einer Linie h^ von der negativen zur 

 positiven Seite erlangt P den constanten Factor e**", wo 



Q^ = 2 (4" _ ef ^- . . . _^ e<;') _ 2 (4"' ^ /i='>+ . . . -f /<;') . 

 Die Puncte, wo der Zähler von P 0' wii-d, hangen von der Wahl der Constanten e, die 

 Pimcte, wo äer Nenner 0' wird, von der Wahl der Constanten /"ab. Man kann bei hin- 

 reichend grossem r diese Constanten stets so bestimmen, dass durch Zusammenfallen einer 

 Anzahl einfacher Nullpuncte des Zählers mit einfachen Xullpuncten des Nenners, P eine 

 Function darstellt, die für n willkürlich wählbare Puncte oo' wird und ebenso für n will- 

 kürlich wählbare Puncte 0'. Der denkbare Fall, dass eine der •^-Functionen identisch ver- 

 schwindet, kann immer vermieden werden, wenn nur r hinreichend gross genommen wird. 

 Eine in T' einwerthige imd stetige Function P', die in denselben Puncten oo' und 0' 

 wird, wo P ck' und 0' ist, und beim Ueberschreiten der Querschnitte constante Factoren 



erlangt, kann sich von P nur um eine allenthalben endliche, nirgendwo verschwindende 



P' 

 Function f = ^ unterscheiden , die in T' einwerthig und stetig ist und beim Ueberschreiten 



der Querschnitte constante Factoren erlangt. Die Function log f ist demnach in T' ein- 

 werthig, stetig, nirgendwo unendlich, und nimmt beim Ueberschreiten der Querschnitte um 

 Constante zu. Diese Eigenschaften definiren log f als ein immer endliches Integral (vergl. 

 Art. 4), imd ein solches ist, da die ^j Fimctionen u linearunabhängig sind, immer in der 

 Form 



log f = 2/ii «1 — 27*2 i«j -j- . . . ^- 2hpi(p -+- cmist. 



darstellbar, wobei die Grössen 7* Constante bezeichnen. Daraus folgt, dass in der Form 



p 



bei passender Wahl der Constanten, alle Functionen von den oben festgesetzten Eigenschaften 

 darstellbar sind. Von den verschiedenen, durch diesen Ausdruck B. darstellbaren Functionen 

 woUen wir im Folgenden diejenigen imtersuchen, die algebraische Functionen von x sind. 

 Wh- setzen allgemein 



{e^^') = ( T'«^-"^ - k) , (Z'"^) = (-"1"' «"•■"- k) , 



