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(;■ — 1)^-1 willkürlich wählbar. Durch die Annahme derselben sind dann die noch übrigen 

 IJ Nullpuncte, allgemein zu reden, eindeutig bestimmt : es süid die p Puncte, wo die Func- 

 tion 9g,h im Zähler von R 0' wird. Nur für besondere Lagen der willkürlich wählbaren 

 rp Puncte ar„, ?„ und {r — 1)^) Pimcte i^, e^ kann es sich ereignen, dass von den p ab- 

 hängigen Nullpuncten zwei eine solche Lage erhalten, wie die Puncte x', s' : x', — s' sie 

 besitzen. In dem Falle würde ^^.a identisch versehwinden, und von den ij abhängigen Xull- 

 puncten könnte noch einer willkürlich gewählt werden. Diesen Fall, wo eine der 9--Func- 

 tionen im letzten Ausdrucke identisch verschwindet, schliessen wir ein für alle Male bei den 

 folgenden Betrachtungen ans, indem wir bei den willkürlich wählbaren rp Puncten x^. , s^ und 

 (>■ — l)p Puncten 1^ , 6^ von solchen Lagen, die besonderen Bedingungen genügen, absehen. 

 Soll nun E' eine algebraische Function von x darstellen, so müssen für die Grössen g 

 und h rationale Zahlen eingesetzt werden, indem nur unter dieser Bedingung die Anzahl der 

 Werthe, die B' darch stetige Fortsetzung über die Querschnitte hinüber in einem Pimcte 

 der Fläche T annehmen kann, eine endliche ist. Da R einen constanten Factor erlangt, 

 wenn die Grössen g imd h um ganze Zahlen geändert werden, so umfassen wir alle Formen, 

 wenn vrir für g und /; positive echte Brüche und im Grenzfalle flie Null einführen. Wir 

 setzen allgemein 



wo m eine positive ganze Zahl bezeichnet. Die Grössen g' und h' bedeuten positive ganze 

 Zahlen, die kleiner als m sind, imd von denen einige auch sein können. Wir nehmen 

 an, dass ein Theüer von m nicht auch zugleich Theüer aller g' und h' ist. Dann erlangt 

 R an den Querschnitten Factoren, die m" Wurzeln der Einheit sind, und R" ist die nie- 

 drigste Potenz von R', die beim Ueberschreiten eines jeden Querschnitts den Factor 1 er- 

 langt, d. h. ungeändert bleibt. R" ist dann eine wie T verzweigte, d. h. rational durch 

 X und s darstellbare Function : B' folglich die m" Wurzel aus einer solchen Function. Um- 

 gekehrt lässt sich zeigen, dass wenn F eine wie T verzweigte Function ist, die in den 



Puncten, wo sie unendlich und Null wird, immer oo" und O" wird, dann Y^ eine in T 

 einwerthige und stetige Function ist, die beim Ueberschreiten der Querschnitte Factoren er- 

 langt, die Wurzeln der Einheit sind. 



10. 



Führen wir in der ersten »-Function des Zählers von B' für die Grössen e und f die 

 weiter oben aufgestellten Werthe ein, so geht dieselbe über in 



