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algebraisch durch x und ^ darzustellen, vereinfacht sich formal mit Hülfe der letzten Unter- 

 suchung. Zwischen der Function B' und der Function B". die dem Falle m= 1. (; = 0, 

 Ä = entspricht, existirt nämlich die einfache Kelation 



und da B" algebraisch dargestellt ist, reducirt sich die Aufgabe auf die algebraische Dar- 

 stellung des Quotienten 



^ - ^^t + E] ■ 



Dieser Quotient erlangt nur einen Zahlenfactor , wenn man das System («) um ein System 

 correspondirender Ganzer der Periodicitätsmodulen ändert. Man kann also bei (E) von dem 

 Systeme (ilf) absehen (vergl. Art. 10), und (E) allgemein in der Form voraussetzen: 



iE) = {i;u"''"'—k) , n>2J . 

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Als Function des Punctes x, s betrachtet hat B die folgenden Eigenschaften. B ist eine 

 in T' einwerthige und stetige Function des Ortes, die in p Puncten oo', in p Puncten 0' 

 wird, und an den Querschnitten Factoren erlangt, die ««*" Wurzeln der Einheit sind. Ihre 

 Unendlichkeitspuucte sind, wenn n ^ p, die p Puncte x,, — s, ; . . . ; Xp , — Sp-, wenn 

 « > ^, die i? diu-ch die Gleichung zlQ,n = mit Xi,sr, ■ ■ ■ ; r„,s„ verknüpften Puncte. 

 Dire Nullpuncte sind diejj Puncte, für die die Function ■9'j,a I« -^- -£]/ 0' wird. Am Querschnitte 

 Oy erlangt sie den Factor e**"^"', am Querschnitte b^ den Factor e*"^"', wo unter h^ und g^ 

 die in Art. 9 aufgestellten echten Brüche zu verstehen sind. Da die Annahme der Grössen 

 g und Ji das eindeutige Bestimmtsein der p Nullpimcte von B nach sich zieht (vergl. Art. 9), 

 indem die Argumente der Q'-Function im Zähler ausser von (E) nur noch von den Grössen 

 g und h abhängen, so folgt, dass die in T' einwerthige und stetige algebraische Function 

 B bis auf einen von x unabhängigen Factor bestimmt ist durch die Bedingungen : für p ge- 

 gebene Fuvde oo' Sil werden und an den Querschnitten gegebene Fadoren zu erlangen. 



Aus dieser Eigenschaft ergiebt sich ein neues Princip für die algebraische Darstellung 

 der Functionen B. Es besteht darin, dass man die einfachsten algebraischen Functionen 

 zu gewinnen trachtet, die in T' einwerthig und stetig sind und an den Querschnitten die- 

 selben Factoren e*"^"' und i?'^"' erlangen, die B beim Ueberschreiten annimmt. Sei/" eine 

 solche algebraische Function, so ist der Quotient von B und f eine wie T verzweigte Func- , 

 tion, denn er erlangt beim Ueberschreiten eines jeden Querschnitts den Factor 1. Dieser 



