»( I «"•<» ^ fc) = , 9[ £ m"» ^ *) = 

 resp. eintret«n. Wenden wir jetzt den am Ende von Art. 8 ausgesprochenen Satz von Rieniann 

 an , so folgt, dass die Functionen 



p-tm-l p—tm-i 



und ihre sämmtlichen ersten bis m""' Derivirten nach den Grössen v, vp verschwinden 



für (t>) = (0), nicht aber ihre sämmtlichen (m— l)«*" Derivirten. Mit Berücksichtigung 

 der Formel (ö..) ergiebt sich entsprechend, dass die Functionen 



und ihre sämmtlichen ersten bis »»«<"° Derivirten nach den Grössen v, Vp verschwinden 



für (v) = (0), nicht aber ihre sämmtlichen (m— 1)«*" Derivirten. Dieses Resultat liefert 

 die Mittel , um zu entscheiden . welche von den 2-'' 9-Functionen gerade, welche ungerade sind. 

 Bezeichnet nämlich /"eine beliebige einwerthige und stetige Function der^» Variablen v„ . . . , Vp, 

 die der Bedingung /"(— v, — i'i •• • I — Vp) = /"(u, i u, 1 . . . | Vp) genügt und für 

 (v) = (0) nicht unendlich ist, so werden die sämmtlichen ersten, dritten, .... (2m -j- l)"" 

 Derivirten dieser Function für (v) = (0) verschwinden. Genügt dagegen f der Bedingung 

 {{— v^ — u, . . . 1 — Up) = — f(vi \vt\...\ Vp), so werden für (v) = (0) ausser der 

 Function f die sämmtlichen zweiten, vierten, . . . , 2n'*'' Derivirten verschwinden. Mit 

 Bezug auf m in den letzten ^-Functionen unterscheiden wir jetzt zwei Fälle: 



1. »» gerade , >» = 2»»' , 

 dann werden nach dem Satze von Riemann nicht sämmtliche (2m' - 1)" Äerivirte der 

 Functionen 



d[(x)-^~2' («)](«;> , d[(x) ^ 2' («)l(i' • 

 für (v) = (0) verschwinden: folglich müssen die beiden Functionen ungerade 9 sein, indem 

 sonst ihre sämmtlichen Derivirten d*"-*-' für iv) = (0) verschwinden würden. 



2. m ungerade , m = 2m' -t- 1 , 

 dann werden nach dem Satze von Riemann nicht säramtliche (2m' 2)'* Derivirte der 

 Functionen 



d[(-x) -rT(a)](v) , d[(x)-r"!rla)](u: , 



für (v) = (0) verschwinden: folglich müssen die beiden Functionen gerade 9 sein, indem 

 sonst ihre sämmtlichen Derivirten d'" für (v) = (0) verschwinden wurden. 



