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racteristiken (a) Kücksicht zu uehmen. Die auseinandergesetzte Methode zur Bestimmuug 

 von (jc), die von der gewöhnlich angewandten, nach der man das System (Ä) dm-ch Integration 

 bestimmt, abweicht, führt bei jeder Zerlegimg der Fläche T zum Ziele. Unserer Zerlegung 



der Fläche T entsprechend sind die p Characteristiken (a),, (a) , (a)o^ ungerade, da 



für jede von ihnen Is^i'^ = 1 (mod 2), die übrigen gerade. Man kann demnach in unserm 

 Falle für (x) die Summe dieser p einführen und erhält unmittelbar durch Addition 



• ^ '' ~ ll, 1 1. 1. \) ■ 



14. 



Substituirt man in der Formel (0,.) des Art. 12 an Stelle vou [v) ein .System {Eh''''"), 

 so zeigt sich, dass die Function 



1 



für jede Lage der n Functe x^,sr, ■ ■ . ; x„, .■?„ identisch verschwindet, wenn m-hn <p 

 ist. Dagegen wird, wenn m-r-n > j) — l, diese Function nicht fiü- jede Lage der n Pimcte 

 den Werth haben. Der kleinste Werth, den n annehmen kann, ohne dass die Fimction 

 für jede Lage der Functe identisch verschwindet, ist demnach jj — »j. Insbesondere wird 

 die Function 



*[(x) + i''(a)]K'^j-'r>'^'') , 



1 

 als Function des Punctes x, s betrachtet , 0' füi- die jj — m — 1 Functe ar„, — s , 0' für 

 den Verzweigungspunct oo und für die m endlichen Verzweigungspimcte a, auf die sich die 

 m Characteristiken {a) beziehen. Ebenso wird die Function 



als Function des Punctes x, s betrachtet, 0' für die p — in Puacte x^, — s^ und für die w», 

 den («) entsprechenden Verzweigungspuncte «. Berücksichtigt man mm, dass der Quotient 

 der Functionen 9- [a] '(«-}- /'] und Q' [»;] [« + /",; , vorausgesetzt, dass keine derselben identisch 

 verschwindet, eine in T' einwerthige und stetige algebraische Function ist, die am Quer- 

 schnitte a^ den Factor (— l)^"-''", am Querschnitte &„ den Factor (—1)*"-'''' erlangt, deren 

 Factorensystem folglich durch die Characteristik (s + rj) bestimmt erscheint: so ist es leicht, 

 zu einer beliebigen Characteristik (s) eine einfache , in J' einwerthige und stetige algebraische 



