Function zu finden, die an den Querschnitten dieselben Factoreu ( — 1)*'', ( l)'*" erlangt, 

 die die Characteristik {t) angiebt. Eine solche Function soll mit Bezug auf die Characteris- 

 tik. die ihre Factoren angiebt, den Namen ^ztigeJiörüie chnraderistiiche Fuvitiont erhalten. 

 Nehmen wir aus den 2p ^t 1 Characteristiken (</) eine beliebige, (a)^, heraus und be- 

 stimmen eine algebraische Function, die ihr als chanuhristisilie zugeordnet werden kann. 

 Zu dem Ende betrachten wir die algebraische Function 



und es möge dabei S(a) eine Summe von }) — 1 iieliebigen Characteristiken (a) bezeichnen, 

 unter denen die Characteristik (a)^, die sich auf den Verzweigungspunct a„ bezieht, nicht 

 vorkommt. Die Factoren, die >• an den Querschnitten erlangt, werden, wenn wir mit \i] 

 die Characteristik der »-Function im Zähler, mit [>/J die Characteristik . der »-Function im 

 Nenner von r bezeichnen, durch die Characteristik (a — »/) bestimmt. Folglich erlangt r 

 beim üeberschreiten der Querschnitte diejenigen Factoren, die die Characteristik («)„ angiebt, 

 kann also der Characteristik (a)^ als characteristische Function zugeordnet werden. Die 

 »-Function im Zähler des Ausdrucks /• wird 0' für die p — 1 Verzweigungspuncte «, auf 

 die sich die j^ — 1 Characteristiken (a) beziehen, und ausserdem noch 0' für den Verzwei- 

 gungspunct «y. Die »-Function im Nenner wird 0' für dieselben ^^ — 1 Verzweigungspuncte 

 a, für die die »-Function im Zähler 0' wird, und ausserdem noch 0' für den Verzweigungs- 

 punct 00. In Folge dessen wird der Quotient r dieser beiden Functionen nur einmal 0', in 

 dem Verzweigungspimcte a^, nur einmal oo', in dem Verzweigungspuncte cc, und hat für 

 jeden andern Punct einen endlichen, von verschiedenen Werth. Die Function r', die an 

 allen Querschnitten den Factor ^- 1 erlangt, ist folglich eine wie T verzweigte Function, 

 die 0' wird für x = «,,, oo' für a; = oo, und die sich demgemäss von der Function x - a^, 

 die dieselben Eigenschaften besitzt, nur um einen constanten Factor unterscheiden kann. Man 

 hat also 



r = r |/.T — «,, , 

 und es ist folglich ^x - «^ eine in T' einwerthiijc und stetige algoliraisclic Function, die 

 beim üeberschreiten der Querschnitte dieselben Factoren erlangt , die die Characteristik (a)^ 

 angiebt. Diesem Resultate entsprechend wollen wir allgemein der Characteristik (a)^, die 

 sich auf den Verzweigungspunct a^ bezieht, die Function \fx — «,, als characteristische Func- 

 tion zuordnen. 



