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Da eine beliebige Characteristik (s) immer nur einer iler 2-^ in der Form 1 (a), vi <p, 

 enthaltenen Characteristiken congruent ist, so erhalten wir die uns noch fehlenden characteris- 

 tischen Functionen, indem wir allgemein zu einer Characteristik von der Form £(a), m <j>, 

 eine zugehörige characteristische Function bestimmen. Der Factor, den die Characteristik 

 Hia) fiir irgend einen Querschnitt a oder b angiebt, ist offenbar gleich dem Producte der 

 m Factoren, die durch die m in der Summe vorkommenden Characteristiken (a) für den- 

 selben Querschnitt a oder ö einzeln angegeben werden: folglich kann der Characteristik 2" (n) 

 diejenige Function r als characteristische zugeordnet werden , die durch Multiplication der m, 

 den einzelneu («) entsprechenden characteristischen Functionen entsteht. Setzen mr £ (a) 

 in die Form 



2" (a) = (3, • W/), ß, ■ (au ^...^ ß,„ ■ (a),^ - ß,^+, . (a),^^, , 



indem wir allgemein uutfr /3, die Zahl 1 oder verstehen, jenachdem (a)^ in der links 

 stehenden Summe vorkommt oder nicht, so ergiebt sich die zu £ {n) gehörige characteris- 

 tische Function /■ unmittelbar in der Form 



Yi^ 



«,)^' (X - «,)^-^ . . . (jr - cc,^+,f^r+' 



Man erhält demnach zu jeder Gruppe congrueuter Characteristiken (die Gnippe der Cha- 

 racteristik (0) ist ausgeschlossen) eine und nur eine zugehörige characteristische Function, 

 indem man die 2}) -i- 1 Functionen l'x — «,. . . . , ^x — «2^+1 auf alle möglichen Weisen zu 

 Producten von l, 2, . . . , p Factoren ohne Wiederholung combinirt. Die Anzahl der so 

 entstehenden Functionen beträgt 2^p — I. es kommen imter ihnen die 2p->- 1 einfachen Func- 

 tionen als Producte aus einem Factor vor. ilan kann bemerken . dass der Quotient — , wo 



s die Wurzelgrösse ^(x — a^) . . . (x — u-yp+i) bezeichnet, an den Querschnitten dieselben 

 Factoren + 1 erlangt wie r. indem das Product, r . — = s. dieser beiden Functionen an 



— O ;. 



jedem Querschnitte den Factor -r 1 erlangt. Es entspricht dies dem Umstände, dass 



m 2p+l-m 



2^(a) = 2" («), wenn rechts die 2p ^r ^ — »» Characteristiken («) eingesetzt werden, die links 

 nicht vorkommen. Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich auch leicht der Beweis, dass von. 

 den 2p ^l Characteristiken (a), die bei einer beliebigen Zerlegung der Fläche T in T' auf- 

 treten, immer je 2p nach imserer frühern Benennung linearunabhängig sind. Denn ange- 

 nommen, es existirte zwischen n der 2/? -j- 1 Characteristiken, die, unter Beibehaltimg der 



