die R au Jen Querscliuitten erlaugt, siud durch die Characteristili 1 (n) bestimmt: iu Folge 

 dessen hat die zu R gehörige characteristische Function die Form 



ViÜ) = fix - «,/^ • • • (.*;-«/'' ■ . . {x~a,p+,f^p+^ , 

 wo allgemein ß^ den "Werth 1 oder hat, jenachdem die Characteristik («)^, die sich auf 

 den Verzweiguugspunct a„ bezieht, unter den m Characteristiken in ^ (a) vorkommt oder 

 nicht. Von den 2/^ + 1 Grössen ß werden also m den Werth 1 haben, die übrigen den 

 Werth 0. Demnach ist Wix) eine in T' einwerthige und stetige Function, die für a; = oo 

 uuendlich von der m^'^" Ordnung ( x'") mrd und an den Querschnitten dieselben Factoren 

 ( — 1)^", (— 1)^" erlangt wie R. Das Product der !.)eiden Functioneu R und \^f(x) erlangt 

 an jedem der 2p Querschnitte den Factor -^1, ist folglich eine wie T verzweigte, d. h. 

 rational durch x und s darstellbare Function. Da diese Function, R.yf{x), für x = oa un- 

 endlich wird von der Ordnung m und ferner noch oo' für die }) Wurzeln der Gleichung 

 z/p,,, = 0, für die R x' wird, so Ivönnen wir setzen: 



WO J-i, Äi rationale ganze Functionen von x bezeichnen, und unter ^Q,n die Determinante 

 des Art. 10 zu verstehen ist. Die linke Seite dieser Gleichung verschwindet für jeden der 

 m Verzweigungspuncte, die der Gleichung /"(x) = genügen: in Folge dessen müssen diese 

 m Verzweigungspuncte auch Wurzeln der Gleichung ^2=0 sein , indem sonst die rechte 

 Seite nicht mit der linken zugleich verschwinden würde. Die Function f{x) muss demnach 

 Theiler von Äz sein, so dass J..2 = ^B,. f{x), wo Bi wieder eine rationale ganze Function von 

 X bezeichnet. Führen wir diesen Ausdruck an Stelle von A^ in die obige Gleichung ein, 

 dividiren linke und rechte Seite derselben durch Wi^) "nd setzen statt Äi und Si rationale 

 ganze Functionen von noch zu bestimmendem Grade 6 und t resp. ein, so folgt für R die 

 bis auf die Constanten bestimmte Form 



(«0 ^ a.x -i^...-^a^x')-L= -'-r {k, -J- ö,r -f . . . - hr x') 1''/^) 

 R = ^M 



Die Werthe von ö und t bestimmen sich durch die Bedingung , dass für x- = co der Zähler 

 von derselben Ordnung unendlich werden muss wie der Nenner J^,n, indem für diesen Werth 

 von X der ^--Quotient B weder oo noch wird. Da z/§,» für x = oo unendlich gross von 



