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I. Geometrisches. Es? sei ƒ der gegebeiie Kegelscluiitt, Pder Pol von 

 p inbezug aiif ƒ, q die Polare von Q uiid y die Polare des Schiiitt- 

 punktes Y von p und q. 



Um anf eiiiem Stiaide <t von Qden gesncliten vierten iiarnionischen 

 Punkt zii (inden, schneiden wir a mit /> (der Sciinittpnnkt sei 21) 

 nnd konstruieren zu .1 die Polare a inhezng auf ƒ, die dnrch P 

 gelit. Der Schnitlpunkt A von « .% a ist dann der gesuchte vierte 

 harnionisciie Punkt. Darans ergibi sioii so fort ; Jedeni Straiil <t des 

 Strahlbüscliels Q ist die konjngierte Polare a ini)eziig anf ƒ durch 

 den Punkt P zngeordnet, dalier sind diese beiden Büseiiel projektiv 

 und der ijesuchte Orl des vierten harmünischen Punktes ist ein Kegel- 

 schnitt. Diesen nenue ich den Polarkegelschnitt des Punktes Q und 

 der Geraden /> inbezug auf den gegebenen Kegelschnitt f und bezeichne 

 ihn mit 'P. 



Aus dera obigen folgt, dass Q und p mit Pbezw. q vertausclibar sind. 



3. Die <P geht jedenfalls durcli dieSchnittpunkle C, Z) von p nuty' 

 ferner durch die Sclinillpunkle U, V von q mit ƒ, durcli die Punkle 

 Q nnd P und beriiiirf die Geraden YQ und Y P in Q bezw. P. 

 X Y Z ist das gemeinsame Polaitireieck fur /' nnd 'P. Es ist audi 

 leiclit zu etitsclieiden, welclier Art der Kegelschnitt <P ist. Soil 

 namlich * einen unendlich fernen Punkt B^ haben, so mussen die 

 2 entsprechenden Stralilen /J und b der projektiven Büseiiel Q und P 

 parallel sein, somit liegt der vierte harmonische Punkt in dei' Milte 

 der Schnittpunkte von /i mit /. 



Verbindet man diese Mitte mit M, so erlialt man einen Strahl, 

 der zu ^ konjugierte Polare ist. Konstruierf man also zu alien 

 Sirahlen fi von Q die konjugierten Polaren durch M, so erhalt man 

 wieder ein zu dem Büseiiel Q projektives Büschel M und das 

 Erzeugnis dieser zwei projektiven Büschel ist wieder ein 6', ^ P,, c/er 

 (ille Sehnen in f, die durch Qgehenjinlbiert. Sclineidet man ;.; mit^, 

 so geben die Verbindungsgeraden dieser Sehniltpunkte mit Q die 

 Richtungen der Asymptoten von <ï» an. Je nackdem also /, die 

 Gerade p isi 2 Punkten schneidet, oder berührt oder gar nicht trifft, 

 ist 'P eine Hgperbel. oder Parabel oder Ellipse. ^, geht dureh 

 M, Q, U, V. Es gibt noeh einen zweiten solchen entseheidenden 

 Kegelschnitt ^,, der durcli M, P, C und D geht und analog wie ij 

 konstrniert wird. Dessen Schnitt mit q gibt dann die Entscheidnng. 

 P., und /., bleiben dieselben, wenii Q bezw. P erlialten bleibt, 

 wahrend p bezw. q sich andert. Fur alle mögliciien Lagen von p 

 bilden die X^ ein Netz von C, durch die Punkte Q. ^ . U ; enl- 

 sprecherides gilt fur i,. 



Auch der vierte Schnittpnnt von /, mit '/> ist leicht anzugehen : 



