Mathematics. — ,,U>^her den nnt'drHchen Dimensionsbegri[j."^) By 

 Piof. L. E. J. Brouwek. 



(Communicated at the meeting of November 24, 1923|. 



Auf Grund tier liivarianz der Diiiieiisionenzal)! ') lasst sicli die 

 Dimenaioiienzalil eiiier Mamiigfaltigkeit ') detiiiieieii als die Anzalil 

 der Parameter, durch weiclie sicli die Mamiigfaltigkeit in der 

 LImgebuiig eines l)e!ieliigeii iliier Punkle eineindenlig und stetig 

 darstellen lasst. Diese „aritiimelisehe" Definition tragt aber nacli 

 PoiNCARÊ *) unserer intuitiven Raumanscliaiiniig nngeniigend Reclinung. 

 PüiNCARÉ erliebl deslialb die Koiderung einer rekiirrenteit Detinition 

 von etwa Folgender Form ') : 



„EiiL Kontinuv.m keisse n-dimensional, nienn. man es durcli ein 

 odd- mehrere {d — \)-dimensionale Kontinun in t/t-trennte StUcke 

 zerlegen kann." 



Obgleicli der /^dimensionale JoRDANSclie Satz °) auf die Moglich- 

 keit einer derartigen Detinition deiitet, ,so lasst sicli diese in der 

 zitierten Form dennocli niclit aufreclit eriialten. 



Zunachst bemerken wir, dass das Wort ,,Kontlniiuiii" liier sicher 

 nicht etwa im Sinne von „Mannigfaltigkeit" aufgefasst werden darf ; 

 in diesem Falle würde namlicli die Detinition erst braaclibar werden, 

 nachdem eine von dei' Parameterdarstellung nnahhangige Cliarakteri- 

 sierung der MannigCalligkeiten iinter den abstrakten Mengen gelungen 

 sein würde. Weil dies aber bis jetzt nicht der Fall ist, so müsste 

 der PoiNCAHÉschen Definition irgendeine allgemeinere abslrakte Cha- 

 rakterisierung des Kontiiuiums vorausgescliickt werden, z. B. diese; 

 ,,Eine Nvnnabnenye (im FuÉCHETschen Smne) .t heisse ein Konti/mu/n, 

 wenn es fur je zivei ihrer Ehmente iii^ und ni, eine zusammenhan- 



1) Die vorliegende Mitteilung bildel bis auf den Inhalt von Fussnote '') und die 

 in Fussnote ") angegebene Berichtigung einen Wiederabdruck meiner in 1913 ini 

 Journal fur die reine und angewandte JVIathematik (Bd. 142, S. 146 — 152) unter 

 demselben Titel erschienenen Abhandlung. 



°) Vgl. meinen Beweis in Math. Annalen 70, S. 161 — 165 und die daraii an- 

 kniipfenden Entwicklungen von Lebesgue in C. R. de I'Acad. des sciences, Paris, 

 27 mars 1911. 



') Fur die Definition des BegriCfes ,Mannigfaltigkeit'" vgl. Math. Annalen 71, S. 97. 



*) Revue de métaphysique et de morale, 1912, S. 486, 487. 



s>) a. a. 0., S. 488. 



*) Vgl. den teiiweise von Lebesqüe, leilweise von mir erbrachten Beweis in G. H. 

 de I'Acad. des sciences. Paris, 27 mars 1911, und Math. Annalen 7 1 , S. 305— 319. 



52* 



