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allgemeinen Dimensionsgrnd" bedeuten, dass jr kein Kontinuum als 

 Teil entlialt, bzw. dass zu -t weder die Null noch irgendeine natürliche 

 Zahl als ilir allgemeiner Dimensionsgrad gefunden werden kann. ") 



Dieser Definition lasst sich teieht eine von der Rekurrenz unab- 

 bangige Form geben. Dazu denken wir uns die Menge .-r von zwei 

 Personen A und B der „Dimensionsoperation" unierzogen, worunter 

 wir folgendes versiehen: A wahlt in n zwei innerhalb ^t abge- 

 schlossene Teilmengen (> und o' beliebig aus, worauf B q und p' in 

 .t treniit duirli eine innerhalb Tt abgeschiossene Menge rt,. Sodann 

 wahlt A in -t, zwei innerhalb i, abgeschlossene Teilmengen (,», und 

 q\ beliebig aus, w^orauf Bq^ und q\ in ^, trennt durch eine inner- 

 halb :t, abgeschlossene Menge .-r,. Dieser Prozess wird nnbeschrankt 

 wiederhoit, bis eventuell eine Menge .t;, auftritt, welche kein Kon- 

 tinuum mehr als Teil enthalt. Wenn einerseits B unabhangig von 

 den Wahlen der q, und q' j dafür sorgen kann, dass eine Menge 

 Jth auftritt, deren h^n, und andererseils A unabhangig von den 

 Wahlen der rr., dafür sorgen kann, dass keine Menge n^ auftritt, 

 deren h<^n, so werden wir sagen, dass n den aUgemeinen Dimen- 

 sionsgrad n besitzt. Wen dagegen keine natürliche Zahl n existiert 

 mit der Eigenschaft, dass 5 unabhangig von den Wahlen der (>., und y'v 

 dafür sorgen kann, dass eine Menge ith auftritt, deren h £. n, so werden 

 wir sagen, dass Temejj M?jen(//jc/((?Ji allgenieinen Diviensionsgrad besitzt. 



Wenn zu einem Punkte P von Jt Umgebungen, welche den 

 allgemeinen Dimensionsgrad m, aber keine Umgebungen, welche 

 einen geringeren allgemeinen Dimensionsgrad besitzen, existieren. so 

 werden wir sagen, dass -t in P den Dimensionsgrad m besitzt. In 

 verschiedenen Punkten kann eine Menge verschiedene Dimensions- 

 grade besitzen ; keiner von diesen kann indes den allgemeinen Di- 

 mensionsgrad dei' Menge übersteigen. Falls in jedem Punkte der 

 Menge der Dimensionsgrad dem allgemeinen Dimensionsgrade der 

 Menge gleich ist, so werden wir sagen, dass die Menge einen 

 homogenen Dimensionsgrad besitzt. 



Anf Grond der vorstehenden Definitionen soil nun die Poincaré- 

 sche Forderung vollstandig erfüllt werden durch die Begründung 

 von folgendem 



Dimerisionssatz. Eme n-dimensionale Mannigfaltigkeit besitzt 

 den homogenen Dimensionsgrad n. ") 



Zum Beweise dieses Satzes zeigeii wir zunachst, dass B bei der 



") Nach dieser Definition wird sowohl für den HiLBERTSchen wie für den 

 FRÉCHETSchen K,,, ein unendlicher allgemeiner Dimensionsgrad gefunden. 



") VVeil der Dimensionsgrad offenbar eine Invariante der Analysis Situs ist, so 

 ist im Dimensionssatz die Invarianz«der Dimensionenzahl enthalten. 



