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von -T, in r, bestimnilen, an die zweidimensionaie Seite E, E^ E, 

 grenzenden Gebie(sineiige y,. nsw., konstruieren in r eine simpiiziaie 

 Zerlegung von der Dichte 6'"j, bezeielinen mil y das «dimensionale 

 Fragment'"), welches von den niitsamt ihrer Grenze zn </ geliörigen 

 Grundsimplexen gebildet wird, mit o, den hmerhalh r gelegenen 

 Teil der gleichtnlls simplizial zerlegt vorliegenden Grenze von y, 

 mit f, das Maximum der Abatande, welche die Piinkte von <*j von 

 r, besitzen, mit y, das (n — l)-dimensionale Fragment, welches von 

 denjenigen Grundsimplexen von o,, die von </, eineii Abstand ^ e, 

 besitzen, gelnldel wird, mil a, den innerhalh (j, gelegenen Teil der 

 Grenze von •/,, mil f, das Maximum der Abstande, welche die 

 Punkte von «7, von r, besitzen, und t'ahren so fort. Alsdann kon- 

 vergieren 8,, e,, . . . f„ mit p gegen Null, so dass die eventuelle Existeiiz 

 von r/,, (J,, . . . <j„ diejeiiige von t,, r,, . . . r„, mitliin audi diejenige 

 von :t,, .t,, . . . .T„, in deiien ja der Reihe nach t,, t,, . . . t„ als Teil- 

 mengen enthalten sind, nach sich ziehen wird. 



Hiermil ist der Dimensionssalz zurückgeführl auf folgenden 

 H I Ifii .s' a t z. Es sfi o em simplizial zerlegtes n-dimtmsioiiales Element 

 nut den Eckpunkten E^, E,, . . . E„^i ; y eiii tins Grundsimplexen 

 ran <i (jehildetes Fragment, das (die an. E,, aher kei}i an E, E,. . . E„^i 

 ijrenzendes (rrund.iimplex von o entlialt; o, der innerhalh n liegende 

 Teil der Grenze iwn y ; y, ein aus Gi'undsnnplea-en von o, gebildetes 

 Fragment, das idle an E^ E^, aher kein an &', E, . . . E^j^^ grenzendes 

 Gmndsiinplej' von n^ enthalt ; o., der innerhalh (j, liegende Teil der 

 Grenze von y, ; y, ein aiis (Trundsinijyle.t en von o, gebildetes Fraginent, 

 das alle an E^E^E,, aher kein an E^E^E, . . . E„^i grenzendes Grund- 

 .tiniple.c von «», endidlt; o, der innerhalh <>, liegende Teil der Grenze 

 von y, ; usw. Alsdann kann von den Funktmengen (J,, o,, o,, . . . 'T„ keine 

 verschamulen. 



Dieser Hilfssatz, auf den sclion Lebesgl'h in Math. Annalen 70 

 die Invarianz der Dimeusionenzahl znrückgefiihrt hat, dessen Beweis 

 daselbst aber eine wesentliche Lixcke aufweist "), lenchtet unmittel- 



17) Math. Annalen 71, S. 101. 



'9) a. a. 0., S. 306. 



'^1 Die , fails bien évideiits", welche dieser Beweis lauf S. 167) voiausselzt. sind 

 namlich unrichtig, und bilden, wenn sie in eine richtige Form gebracht werden, 

 eine Eigenschaft, welche liefer liegt, als der Hilfssatz selbst. Nachdera HenLEBESGUE 

 (in 1911) auf dieses Versehen hingewiesen worden war, teilte er mir seine Absicht 

 mit, binnen kurzeni im Bull, de la Soc. Math, de France einen neuen Beweis des 

 Hilfssatzes zu bringen, von deni er mir gleichzeitig die Hauplziige auseinander- 

 setzte Obgleich diese Auseinandersetzuiigen micli nicht befriediglen, meinte ich 

 dennocb im in ') zitierten Original auf die von Herrn Lebesgue zugesagte Veröfïent- 

 'ichung hinweisen zn mn.?sen. Dieseibe ist indes ausgeblieben und erst in Punda- 



