Mathematics. — „Ueber Wirkungsfunktioneii" . Bj Prof'. R. Wicit- 

 ZENBÖCK. (Communicated by Prof. L. E. J. Brouwer). 



(Communicated at the meeting of May 27, 1922.) 



§ J. Einleiümg. 



Bei der Ableitung der Feldgesetze und der Erhaltiingssatze in der 

 allgemeinen Relalivitatstheorie und deren Erweiterungen stelit man 

 vor folgender Aufgabe: wenn y^c und (fi die Komponenten eines 

 Kovarianten Tensors. 2. resp. 1. Stufe sind und 



gesetzt wird, so ist aus diesen Funktionen eine absolute Invariante 

 W zu bilden. W\/g wird dann eine relative Differentialinvariante 

 vom Gewiclite eins (=.eine scalare Dichte) und 



kö dx = j W \/~g dx=z j j j \W \/g dx^ dx, dx, dx^ • • (2 ) 



wird eine absolute Integralinvariante. 



Man nennt ^S die Wirkungsfunktion. Bedentet rf eine Variation 

 der gik und (fi, so gibt die Gleichung 



rf|2«d.c=0 (fur alle ógu, und ö(fi) . 



(3) 



die Feldgesetze. 



Die Frage nacli alien Differentialin varianten zweiter Ordnung der 

 beiden Tensonen giu und (fi wird zurückgeführt auf die einfacliere 

 Frage nacli alien ganzen, rationalen Differentialinvarianten dieser 

 Tensoren. Hierauf gibt ein Reduktionssatz von Ricci und Levi- 

 CiviTa ^) die Antwort: man hat alle projektiven Invarianten der 

 folgenden 5 Tensonen zu suchen : 



gij. = metrischer Fundamentaltensor 



(fi =: electromagnetisches Potential 



/?,jt_5t^=: (Riemann-Chiistoffel'scher) Krümmungstensor \ . (4) 



(/),(5^) = erste kovariante Ableitung der (f i 



(/:),(5^)(^)Z=: zweite kovariante Ableitung der ^, . 



1) Mathem. Ann. 54, (1901), p. 138. 



