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Die Frage iiach alien projektiven Invarianten dieser Tensoren 

 bildet ein selir kompliziertes algebraïsches Problem. (Nacli dem all- 

 geiiieineii Endlichkeitssatz von Hilbert gibt es endlich-viele ganze 

 rationale Invarianten, durch die sicli alle nbrigen ganz und rational 

 ansdriicken lassen.) 



Glüekliclierweise ist liier die Sache nicht so trostlos verwickelt, 

 indein zwei sehr einsolirankende F'ordernngen gestellt werden : in 

 der EiNSTiiiN'schen Theorie wird verlangt, dass die Feldgesetze Diffe- 

 rentialgleicliungen höchstens zweiter Ordnnng werden ; in der Theorie 

 von Weyl mussen die aus den Tensoren (4) gebildeten Wirkungs- 

 funktionen audi masstabsinvariani sein. 



Wir behandein znerst den zweiten Fall. 



^ 2. Die Theorie von Weyl. 



In der diirch Wkyl gegebenen Erweiterung der allgemeiner Rela- 



tivitatstheorie mnss die aus den Tensoren (4) gebildete Wirknngs- 



fnnktion absoltit-invariant gegenüber Masstabstransforraationen sein. 



Diese Transformationen sind gegeben durch 



, ^ log ^ 

 9ilc=^9ilc (/i=z<fi , .... (5) 



woraus noch entsprechende Gleichungen fur R'ik,üt3, yVta) nnd ff'iux^) 

 folgen. 



Die Forderung ^' = '^ (t'iir alle )) erniedrigt dann die Anzalil 

 5 der Tensoren (4) auf 4 masstabinvariante Tensoren : 



gii^ = metrischer Fundamentaltensor {g'i/^,= I g^^) 



fik =13 electromagnetisches Feld (ƒ',•;;.= /}/,) 



*i/^,-;fc^,^=Richtungskrüramnng {*F'ik,u^ = X^Fi^,.^) | • (6) 



Eik,^ =/ik{c,.)— i ify.k<ri-\-fia<fk-\-Vikifu — gaif^kff'^—go^kfi^'f^) \ 



Der gegenüber 'K>=Wy''g et was allgemeinere Ansatz S = IF^'', 

 wobei W keinen Faktor g mehr enthalt, fiihrt weiters auf die 

 Gleichung 



2?2, + 2n, + 3n, = 4, 

 wobei IF ganz und rational vom Grade n^,n^,n^ in den fij^, *F{k,a^3 

 und Eijt:^,n ist. Daher ist ?i^ = und fur n^ und ii^ bleiben nur die 

 drei Möglichkeiten (2,0), (1,1) und (0,2) iibrig. Man kann dann be- 

 weisen '), dass sich unter diesen Annahmen nur die folgenden sechs 

 Wirkungsfunktionen ergeben : 



1) R. Weitzenböck, Wiener Ber. 129, (1920), p. 683 und p. 697; dito, 130, 

 (1921), p. 15. 



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Proceedings Royal Acad. Amsterdam. Vol. XXV. 



