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Berecimet man diese ,,V"ariations-AbIeitiingen" iind verlangt man, 

 dass sie DifFeientialquotienten von höchstens zweifer Oidnung ent- 

 halten, so ergeben sieh die drei folgenden Möglichkeiten : 



A. W enflialt die Rik,ai^ linear, keine (pi(^ci.) nnd keine (pi{oL){^y. 



W=A{gik , (fi , R^k,.fi)^ (12) 



B. W enthalt die <f{{oc){p) linear, keine Hnca^ nnd keine fpi(a)- 



W=B(gik , ffi , r/),(„)(^)); (13) 



C. W entlialt keine Rik,a.p und keine ff>i(^)(fi): 



W=Cigik , ffi , ffi(u)). ...... (l 4) 



Wir behandeln diese drei Falie der Reilie nach. Bei A kann man 

 zeigen, dass man nur die zwei Invarianter» erlialt : 



A,=R = gifcRii, , A,=zR,kcpUpk .... (15) 



A^ ist das von Einstein verwendete R. 

 lm Falie B haben wir drei Invarianten: 



Die neben B^ noch mögliclie Invariante 



ist mit Hilfe von B^ und A^ ausdrüekbar: 



B. - B\ = <p[^^^^^ ./)« - <(^^^,//'« =-R.^r <f^ =-A, (17) 



Komplizierter ist der dritte Fall C. Hier ist die Anzahl der In- 

 varianten sehr gross: das Aufsnchen aller Invarianten kommt hinans 

 auf das Bereclinen eines vollen Systems von orthogonalen Invari- 

 anten einer qnaternaren Linearform <pi nnd einer ebensolchen (un- 

 symmetrischen) Bilinearform (pi(^u.y Dies ist eine bisher noch ungelöste 

 Aufgabe. 



Wir führen einige der einfachsten Invarianten vom Typus C an. 

 Enthalt C erstens keine T^.^a), so haben wir die einzige Invariante 



C,=fp = <pifpi = gifcfp-(pj^ (18) 



Wenn C die fp{(oi) linear enthalt, haben wir zwei Invarianten 



C, = q'i(u)rp^'p- , C,^<P =^-^^ . . (19) 



Die Wirkungsfunktion C, l^g gibt lu den Feldgesetzen keinen 

 Beid rag, da Cj [^g eine Divergenz ist. 



Von den in den 7), «^ quadratischen Invarianten C nennen wir 

 nur noch 



C, = 2{<p,^^ypi(-)-<Pi^,yp-(i))^fikfik;^ . . . (20) 



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