Mathematics. — “Bestimmung der Klassenzahl der Ideale aller 
Unterkörper des Kreiskörpers der m-ten Einheitswurzeln, wo die 
Zahl m durch mehr als eine Primzahl teilbar ist”. Aster Teil). By 
Dr. N. G. W. H. Bercer. (Communicated by Prof. W. Kapreyn). 
(Communicated in the meetiug of September 27, 1919). 
In zwei früheren Mitteilungen ') habe ich den Ausdruck hergeleitet 
für die Klassenzahl der Ideale eines jeden Unterkörpers des Kreis- 
körpers der /'-ten Einheitswurzeln. Im vorliegenden Aufsatz gebe ich 
die vollständige Ableitung desselben Ausdrucks für alle Unterkörper 
aller übrigen Kreiskörper. Der entgültige Ausdruck bat dieselbe Form 
wie der bekannte Ausdruck für die Klassenzahl des Kreiskörpers 
selbst. 
Nur für die zu eyklischen Untergruppen gehörigen Unterkörper 
des Kreiskörpers ist die Klassenzahl schon vorher bestimmt durch 
Fucus’). Seine Endformel haben nicht die einfache Form, die ich 
jetzt für alle Unterkörper bewiesen habe. Seine Untersuchungen 
könnten sich natürlieh noch nicht griinden auf die jetzige Auffaszung 
der Theorie. 
Im Folgenden benutze ich fortwährend den Hi.Berr’schen “Bericht 
über die Theorie der algebraischen Zahlkérper’*), den ich weiter 
andeute durch “H”. Weiter benutze ich die Theorie der AprrL'schen 
Gruppen aus dem “Lehrbuch der Algebra’ von Weber, welches ich 
andeute durch “W”. Gemeint ist stets Band II. 
L Der Kreiskörper der meten Einheitswurzeln. 
$ 1. Die Substitutionen des Körpers. 
Sie bilden eine Ager’sche Gruppe, die isomorph ist mit der Gruppe 
der Zahlklassen (mod m)*). Sind also 
A AE oo aL) 
die Zahlen < m und prim zu m, und stellt man die Substitution 
1) Diese “Proceedings” Vol. XXI p. 455 und 758. 
% Cr. Journ B. 65. S. 74. 
8) Jahresb. d. D. M. V. B. 4. 
4) “W.” S. 74 und § 18. 
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Proceedings Royal Acad. Amsterdam. Vol. XXII. 
