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m m 
bp (m) aop bon + 2 p (= Asn ben + Pl — at) | eee EE 
oh Ifa % 
Ne a ae 
ip 
oh age 
so Ist: ~==—. 
dre 
Beweis: Nach Satz 2 wird die im Satze genannte Untergruppe 
dargestellt durch die Potenzen von p, deren Exponenten sind 
Ll okie age 
d d d 
f 
Also ist pd die miedrigste Potenz von p welche zur Untergruppe g 
gehört. Es ergibt sich daher aus den Congruenzen (3) dasz - die 
kleinste Zahl ist, welche den Congruenzen 
je m ie on 
Lg (m) Wop 5 bon = 2 (sn) Oe p> ben + ...,=0 (mod g) 
geniige leistet. Daraus folgt die Wahrheit des Satzes. 
4. Es sei /, eine in m aufgehende Primzahl, (auch 2) und d,' 
der Grad der gemeinschaftlichen Untergruppe von g und der cyklischen 
Gruppe des Grades f aus Satz 5. Nehmen wir weiter an, dasz 
fiir die in Satz 5 bestimmte Zahl die Congruenz 
m 
DE 
gilt. Es sei ¢, der gröszte gemeinschaftliche Teiler der Zahlen 
m 
bp (m) Ao bon + 2 p (=) Use Dagen Se oad 
l, 4 = bik AeA 
..+. (mod m) 
Qhe 
Dp 
n= ld we 
n 
Sadie Gat 4 . 
so ist ae (Man siehe Satz 3 für die Bedeutung der Zahl f,). 
dy l, : 
Beweis: Wie voriger. 
§ 5. Zerleguny der Primzahlen in Primideale des Körpers k. 
Herr BACHMANN ') hat das Zerlegungsgesetz gegeben einer Primzahl 
in Primideale eines beliebigen Unterkörpers des Garors’'schen Körpers. 
Seine Betrachtungen können wir hier natürlich benutzen. Sie werden 
eine leichte Vereinfachung erleiden können weil wir in unserem 
Fall mit einem Ager’schen Körper zu machen haben: die Substitu- 
tionen haben also die commutative Higenschaft. 
1) Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper, S. 495. 
