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die Substitution s = (7: Z—'). Denn es sei @ eine reelle ganze Zahl, 
so ist 
Oad 4.2 ann 
ei 3 sin 4 
a, sin a,——+....=0 
m 
und 
2m 
ie =a, an ees Sei arate es en iia 
Also: 
2—s2— 0. 
Ebensoleicht beweist man, umgekehrt, dasz eine jede Zahl, welche 
durch die Substitution s nicht geändert wird, eine reelle Zahl ist, 
Man ersieht hieraus dasz jeder reelle Unterkörper von A ein Unter- 
körper ist des zu der Gruppe s,s? gehörenden Unterkörpers und 
dasz ein Unterkörper, der zu einer Untergruppe gehört, welche die 
Substitution s nicht enthalt, imaginär ist. Wenn nun nicht alle Sum- 
men bont-bint.... gerade sind, so genügt das System a, = 1; 
dy =O; a,=4¢,...-. den Congruenzen (3) nicht; die Untergruppe 
g kann daher in diesem Falle die Substitution s nicht enthalten. 
Der Körper 4 ist imaginar. 
2. Wenn die Summe bon + bin +... nicht für alle Werte von n 
einen geraden Wert hat, so ist die Anzahl der Systeme der 5, für 
; p 
welche dieser Wert ungerade ist, gleich = ; 
* 
Beweis: Alle Systeme der 6 für welche die Summe gerade ist, 
bilden eine Gruppe, da 2,97,,9,,.... gerade sind. Um aus dieser 
Gruppe, die Gruppe aller Systeme der 6 zu bekommen, musz man 
die erstgenannte Gruppe multiplizieren mit einer Gruppe in welcher 
jedes System der 6 (ausgenommen die identische Substitution bo 0 
b,, =0,....) eine ungerade Summe besitzt. Wenn, in dieser letzten 
Gruppe, sich zwei Systeme der hb vorfänden mit ungerader Summe, 
so würde das System, dasz man durch Aufzählung der übereinstim- 
menden Zahlen dieser beiden Systemen erhielt, eine gerade Summe 
bon + Oin +.... haben. Ein solehes System kann aber in dieser 
Gruppe nicht auftreten. In der Gruppe können also nicht zwei 
Systeme vorkommen (ausser boi = bx, =.-...== 0). Die Gruppe hat 
daher den Grad 2. 
(Pp 
Es gibt also forse Systeme der b, welche eine gerade Summe haben 
5 
und natürlich gleichviel mit ungerader Summe. 
Bestimmung der Zahl x*). 
DH.” S. 229. 
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Proceedings Royal Acad. Amsterdam. Vol. XXII. 
