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1°. Wenn der Körper 4 reell ist, so ist w—=2 denn + 1 sind 
die einzigen reellen Einheitswurzeln. 
: : p : 3 5 ; 
Ks ist weiter 7, = 0 und 7, = — weil der Körper ein Gatots’scher ist. 
5 
af Bho ie p 
2. Wenn der Körper # imaginär ist, so ist 7, =0 und 7, = 9. Nun 
x 
musz noch die Zahl w bestimmt werden. 
Ks sei w,—1 wenn alle Zahlen a, = 0 sind; andernfalls w, = 0. 
Es sei 2”* die höchste Potenz von 2 welche auf alle Zahlen a, 
teilbar ist und w,—=/,—2 wenn alle Zahlen a,=0. u‚=0 
wenn nicht alle Zahlen a, durch 2 teilbar sind und auch = 0 wenn 
nicht alle a, =O sind; u,—=1 wenn alle a, =O und alle a, durch 
2 teilbar sind. 
Es sei /,1 die höchste Potenz von /, welche auf alle Zahlen a, 
teilbar ist, und w,=/,—1 wenn alle a, = 0 sind. u, =0 wenn 
nicht alle Zahlen a, durch 4, —1 teilbar sind und w,=1 wenn 
dies wohl so ist. U. s. w. 
Dann ist: 
g Woh Wy Ua Pl pek ya; 
wenn hy > 3 ist: w = 
Wotl1, ww) 
RE ern abi eho 
uw) 
wenn hy == ist wi 
wenn? = st.) p= 21 
Beweis: Der Körper & kann nur diejenigen Einheitswurzeln 
enthalten, welche Potenzen von Z sind, da der Kreiskérper K nur 
solche enthält. Nur wenn m ungerade ist, enthält K auch die Poten- 
zen von Z mit negativem Vorzeichen. Nehmen wir nun an dasz 
Ze in k liegt, dann bleibt diese Zahl ungeändert für die Substitu- 
tionen von g. Wenn wir also alle Zahlen von g durch A® darstellen, 
so ist 
Ze 
woraus sich ergibt: 
(ANIJS mod mee er ee) 
Wenn, umgekehrt, die Zahl a dieser Congruenz genügt, für alle 
Zahlen A® von g, so enthält der Körper & die Einheitswurzel Ze. 
Sind alle Zahlen a, = Oso enthält der Körper die Einheitswurzeln + 7. 
Beweis: Es gilt für jede Zahl A: 
AD == 5ax (mod 24) also A 1 (mod 4). 
Aus (10) ergibt sich daher a=, d.h. die Hinheitswurzel 
ZA =i liegt im Körper 4. Daher auch —?. 
