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Sind alle Zahlen a,—=0O und alle Zahlen a,— 0 so enthält & die 
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Einheitswurzel ¢2'*. Man beweist dies auf dieselbe Weise. 
Sind alle Zahlen a, =O und alle Zahlen a, höchstens teilbar durch 
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i ete, Wares ‘af 2 
2¥* so enthält & die Einheitswurzel e2”*'?. U.s.w. 
Alle Beweise werden mit Hülfe der Congruenz (10) erbracht. 
Man findet nun leicht die im Satze genannte Formel wenn man 
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zit : ee : nl PE 
beachtet dasz, wenn der Körper die Einheitswurzel Fas enthalt, 
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auch die /+! ersten Potenzen dieser Zahl im Körper liegen. 
§ 11. Ableitung des entgültigen Ausdrucks für die Klassenzahl. 
Satz: Wenn, für jedes System der 6, die Summe bon + bin + .... 
gerade ist, wenn also der Körper /: reell ist, so stellt sich die Klas- 
senanzahl H dieses Körpers, wie folgt, dar: 
a = | . |? 4 
a re | log As 
yo poe ist Ol bon, bns bin Ged 
EE R 
Hierin ist A, =) (1—Z*)(1—Z *) und R der Regulator. Aus- 
gereden ish angzenommen, 0), biss. 0. 
Ist h,=2 so musz ban weggelassen werden und ist h, =O so 
musz auch dbo, weggelassen werden. 
Wenn die Summe bon + Din +... nicht für jedes System der 6 
gerade ist, wenn also der Körper / imaginär ist, so stellt sich die 
Klassenanzahl dieses Körpers 4, wie folgt, dar: 
m 
m 8 2 8 
DENN nn ce | 8) RON eee log Ag 
1 Gel bons bns Üdrares 4 nsi bon, Diens bin, wee 
Ji 
(2m) Par B 
Hierin ist w die in § 10 bestimmte Zahl. Das erste Produkt ist 
über alle Werte von n, für welche die Summe bon + bin +... 
ungerade ist, zu erstrecken; das zweite Produkt über alle Werte 
von n für welche diese ‘Summe gerade ist. 
Weiter ist 4, =V(1—/Zs) 4—Z~—) und A! die Determinante der 
Logarithmen der absoluten Werte eines Systems von Grundeinheiten. 
Ist Ay = 2 so ist bn wegzulassen, und ist hy =O so ist auch bon 
wegzulassen. 
Beweis : 
Zur Ableitung des ersten Ausdrucks benutzen wir (9) und ersetzen, 
in der darin auftretenden Summe, die Grösze &£ dureh m—k. Wenn 
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