Mathematics. — “Ueber die Struktur der perfekten Punktmengen”’ 
(dritte Mitteilung’)). By Prof. L. E. J. Brouwer. 
(Communicated in the meeting of October 25, 1919). 
Gel: 
Kin Fldchensystem bzw. eine Flüche ist im folgenden definiert 
mittels eines solchen zweidimensionalen Fragmentes *) bzw. zusam- 
menhängenden zweidimensionalen Fragmentes, in welehem die in 
einem willkürlieh gewählten Elementeckpunkte mündenden Element- 
seiten entweder alle oder alle bis auf zwei je zwei Elementen ge- 
meinsam sind. Im ersteren Falle sprechen wir von einem gewöhn- 
lichen, im letzteren von einem aussergewöhnlichen Elementeckpunkt, 
während wir eine Elementseite gewöhnlich oder aussergewöhnlich 
nennen, je nachdem sie zu zwei oder zu einem einzigen Elemente 
gehört. Das Flachensystem bzw., die Fläche besteht aus dem Frag- 
mente mit Ausnahme der aussergewöhnlichen Elementseiten und 
Elementeckpunkte, welche zusammen die Grenze des Flachensystems 
bzw. der Flache bilden. 
Ein Flächensystem bzw. eine Fläche, deren Elemente Grundsim- 
plexe einer simplizialen Zerlegung des Flächensystems oder der Fläche 
wm sind, wird ein Teilflüchensystem baw. eine Teilfläche von w genannt 
werden. 
Sei a ein auf der Flache w nicht-negativer Charakteristik gelegenes 
und auf w kein elementares *) Restgebiet bestimmendes, abgeschlos- 
senes Kontinuum, @ =o, a", c'",.... eine « approximierende Folge 
von Teilflächen von w, durch welche also « als D(a’, a",....) be- 
stimmt ist, so dürfen wir für jedes » annehmen, dass «”) auf w 
kein elementares Restgebiet bestimmt, dass a“ eine Teilfläche von 
a’) ist und dass die Grenzen von «”) und a®+! keinen Punkt ge- 
meinsam haben. Sei 4” die Charakteristik von a”, mt”) die maximale 
Anzahl von einander nicht treffenden, zusammen nicht zerstückelnden 
einfachen geschlossenen Kurven von a”, so kann für wachsendes v 
1) Für die erste und zweite Mitteilung vgl. diese Proceedings XII, S. 785; 
AIV, 3S. 437. 
?) Vel. Math. Annalen 71, S. 306. 
5) Ein Teilgebiet von  heisst elementar, wenn es nur auf w zusammenziehbare 
einfache geschlossene Kurven enthiilt. 
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Proceedings Royal Acad. Amsterdam. Vol. XXII. 
