Mathematics. — ''Nouvelle demonstration du théorhve de Jordan 

 mr les courbes plnnes'. Bj Prof. Arnaud Dkn.toy. (Coniinn- 

 nicated by Prof. L. E. .1. Brouwkr). 



(Communicated in the meeting ol' June 29, 1918). 



Le théorème fondaineiital de Jordan sur les courbea fermées peuf 

 s'éiioncer ainsi : 



Si les points d'un ensemble r et ceii.r d'un eerde se correspondent 

 réciproquement et continument, chacun (i chacim, l' ensemble r divise 

 le plan en deux regions. 



L'liypotiièse faite sur r caraetérise une courbe de Jordan. Je me 

 propose dans cette Note de donner une demonstration dn tliéorème 

 ci-dessus énoneé. Je rappellerai d'abord certaines definitions et résnl- 

 tats conn us. 



Nous caractérisons comme il suit les cötés positif et négatif 

 en un point l d'uue ligne HIK formée de deux segments de 

 droite Hl, IK, dont 1 est Ie seul point commun. Décrivons, dans 

 le sens direct des rotations, un are circulaire inférieur a In, de 

 centre 7, ayant son origine sur IK et son extrémité sur Hl Cet 

 are borne, avec Hl et IK, un sectenr de cercle co. Soit L un 

 ensemble continu, tel que, a l'intérieur d'un certain cercle c de 

 centre / et de rayon inférieur a celui de to, L et HIK aient 

 seulement / en commun. Nous dirons que, au voisinage de [, L 

 est situé du eóté positif de la ligne HIK (ou du coté négatif de la 

 ligne KIH) si les points de L intérieurs a c et distincts de /sont 

 tous dans m. 



Il est aisé de voir que, si IK' est du coté positif de HIK, IK 

 est du coté négatif de HJ K'. 



Si / est un point non extreme d'uue ligne brisée ). simple (c'est- 

 a-dire telle qu' un point quelconque de la ligne n'appartient a deux 

 cótés différents que si ce point est origine de l'un et extrémité de 

 l'autre), pour définir les cótés positif et négatif de X en I, nous 

 considérons un secteur de cercle analogue a to, limité au coté (ou aux 

 deux cótés) de X contenant /, et ne rencontrant ancun autre coté de ^. 



Soit F un polygone simple, défini avec son sens de parcours. On 

 monti-e (voir Comptes Rendus de l' Académie des Sciences de Paris, 

 1911) que P divise le plan en deux regions (nous les appelons 

 respectivement positive et negative, et les désignons par /-'+ et /^— ), 



