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telles que tont oontiim joignant im de leurs points M au poljgone 

 F, atteint celui-ci du cóté positif pour P+, du cöté négatif pour P— . 

 A et B étant deux points de P, la ligne brisée décrite en paicourant 

 P selon son sens, de ^ a B est Vare direct A B de P. liCirc retrograde 

 AB est géométriquement identiqiie a Tare direct BA, niais lessens 

 de parcours des deux ai'cs sout opposes. 



Pour déniontrer Ie tliéorème de M. Jordan, nous utiliserons Ie 

 lemme suivant: 



Si, en parcourant une fois un polygone P dans un sens invariable, 

 on rencontre successivement les quatre points A, B, C, D de ce 

 poli/gone, et si (.46'), (/^/^) -^^ont deux continus joignant res pectivement 

 A a C, B a D, et dont to us les points, sauf A, B, C, D, sont dans 

 nne niêuie region limitée par Ie polggone, ces deu.v continus ont au 

 nioins un point coninnin. 



Supposons d'abord (pie {AC) soit une ligne bi-isée simple. On 

 peut tonjours choisir Ie sens posilif' de j)arcours de ]^, de t'acon que 

 la region de P contenant {AC) el (BD), sauf leurs extiémités, 

 soit P+. 



Considéi'ons alors Ie poljgone .1 fornié do l'arc direct CA de P, 

 et de la ligne {AC) parcourue de A vers C. {AC) atteignant P en 

 A et C du cüié positif, l'arc direct AC de P s'écarte de .-t du cöté 

 négalif en A et C. Done, I) qui est sur eet aic est dans 1—. Mais, 

 P et jr ayant en coniinun l'aic CA qui contient B, les coiés positifs 

 de P et de sr au voisinage de B coincident. Done Ie continu (BD) 

 est, au voisinage de B, dans ■>+. On en déduit que (7i/J) rencontre 

 jt en un point différent de B. Comme (BD) ne rencontre pas l'arc 

 CA, (BD) rencontre {AC). 



Supposons que ni {AC) ni (7^ Z>) ne soient des lignes brisées simples. 

 Si ces continus n'ont pas do points commuiis, leur distance minimum 

 est un nombre positif a. On remplace Ie continu (v4C) par une ligne 

 brisée simple ;. d'extrémités A et C, située, sauf pour ces deux 

 points, dans P+ comme l'est {AC), et ayant tons ses points a une 

 distance de (/16') inférieure a u. D'après la première parlie de la 

 demonstration, X rencontre {BD). Nous aboutissons done a une 

 contradiction. Done {AC) et {BD) se reneontrent dans tons les cas. 



Nous déduirons de ce lemme une proposition essentielle. 



Soit r une courbe de Jokdan et la circonféi-ence de cercle 

 correspondant ponctuellement a F. Si un point décrit dans le 

 sens direct, nous dirons que le point homologue de F décrit rdans 

 le sens positif. On écliange le sens positif de pai'cours de r en 

 transformant le cercle en lui-meme par une sjmélrie par rapport 

 a un de ses diamètres. Cela posé. 



