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F. Soit 4« iin nombre inférieur a la distance de X a F, et k la 

 distance rectiligne P Q. e étant moindre qne «, considérons dans 

 un qiiadrillage do coté e Ie polygene jt d 'approximation de F, dont 

 la region positive contient M et N. A partir de F et de Q, les 

 segments P 3f, QN rencontrent ^^ aux premiers points respectifs 

 J/l et iVj. Soit i> la plus grande des deux longnenrs M^ P et 

 N^ Q. i> tend vers zéro avec e. Si il -f- ^ <C "' s^^^" <'l'acnn des arcs 

 directs M^ N^, iV, A/^ de .-t:, il existe des sommets, i'espectivement 

 H, K, tels que les segments H H' , K K' les joignant a lenrs cor- 

 respondants défmis plus haut, ne coupent ni M^ P ni N^ Q. Alors, 

 d'après Ie lemme, H' et K' sont séparés sur F par P et par Q. 



Cela posé, a un sommet H de l'arc diiect M^ N ^ de rr, faisons 

 correspondre P on Q ou H' , selon que 7//:^' rencontre M ^ P ou 

 il/, Q. OU ni l'iin ni l'autre de ces segments. Alors, a la suite des 

 sommets de l'arc il/, A', correspond une suite de points de F, tels 

 que la distance de cliacun d'enx au suivant est inférieure cl 2.*> -)- 5g. 

 Tons ces points sont sur un même are P Q <\q F, pnisqu' aucun 

 d'enx n'est sur l'arc P Q contenant K/ . 



De même, sur ce dernier are, nous pouvons former entre P el 

 Q une cliaine de points, telle que la distance de cliacun d'enx au 

 suivant soit inférieure a 2!h -{- 5f, cliacun de ces points étant d'aii- 

 leurs distant de moins de 2e d'un sommet de rr. Nous dédnisonsde 

 lel les deux corollaires suivants: 



1* Toifte region limitée par F ndmet pour frontière la totalité de F. 



Car la region contenant M et N admet pour frontière chacun 

 des deux arcs P Q de F. 



2" M et N étant dans une même region de F, Pet Q étant sur F et les 

 segments M P et N Q étant sans points non extremes communs, ni avec F, 

 ni entre eux; quel que solt Ie nombre positif i], il est possible de troiiver 

 deux lignes brisées X, X' dont tous les points sont étrangers a F et 

 situés a une distance inférieure a t], respectivement de l'arc direct 

 P Q et de l'arc direct Q P de F, les extrémités de chacune des deux 

 lignes X,X' étant, Fune sur MP, l'autre sur N Q. 



En particulier, si M,N &{ l'un des arcs PQ sont intérieurs a un 

 cercle c, on peut joindre M k N par une ligne brisée ne rencon- 

 trant pas F et intérienre a c. 



De ces corollaires nous tirons les propositions suivantes: 



1" Toute courbe de Jordan admettant un are rectiligne divise Ie 

 plan en deux regions. 



En effet, soit / Ie milieu de l'arc rectiligne direct N K apparie- 

 nant a F et o> un cercle de centre / ne contenant aucun point de 

 l'arc KH de /V Le diamètre // 7v divise o) en deux demi-cercles 



