J 29 



tu, eL to,. L'inlérieai' de to, fait partie d'liiie inAiiie region r, limitée 

 par r. De meiiie rintéiieur de to, appartient è uue même region /•, 

 limitée par F. D'aillenrs, tonte region limitée par r admet I ponr 

 point frontière, done possède des points dans to, done dans to, ou 

 dans lo^. Elle coincide done avee r, on avee ?•,. 



Je dis que )\ et )\ sont distinets. Sinon, soient a^ et «, denx 

 points syméti'iques par rapport a /, et resi)eetivement intérieurs è, 

 to, et a to,. S'il était possible de joindre «, a «, par une ligne 

 brisee simple P. ne reneontrant pas r, on [)ouri'ait elioisir X sans 

 points eommnns avee le segment tf, tf, en dehors de ses points extremes, 

 et en ajoutant a A le segment tf,tf,, on obtiendrait un polygone ferme 

 ttT. Le segment UK et le cote «jtr, de tir se eoupent en leur milieu 

 J. D'aillenrs H K ne ijencontre plus tir. Done, H et K sont dans 

 deux regions différentes de 'uT. Done, Tare direct /C//de Treneontre 

 tir, et comma eet are ne rencontre pas le segment <«,«,, il rencontre 

 )., ce qui est contraire a l'hypotlièse. La proposition est done démontrée. 



2' Toute courhe de Jordan divise le plan en deux regions. 



Soit -/ un point quelconque de F. Soit c un cerele de centre J 

 et laissant a son extérieur un point K^ de 7^. II existe un cerele c' 

 coneentrique et intérieur a c, tel que, si Pest un point de /"intérieur 

 a c', Tun des deux ares F J de P est intérieur ci c. La meme 

 propriété est dès lors vérifiée pour I'un des deux ares P (3, si P et Q 

 sont a la fois sur r et dans c'. 



11 est possible d'entourer /v„ d'un cerele c" extérieur k c et tel 

 que, si a et ^3 sont deux points de F intérieurs a c", I'un des deux 

 ares « p' de Test extérieur a c. Le segment «/? rencontre en general 

 F en d'autres points que « et /i, peut-etre même en une infinite de 

 points. Ceux-ei forment sur le segment a [i un ensemble ferrrié. Soit 

 HK un intervalle contigu a eet ensemble. Le segment HK est une 

 corde de F. Ses extrémités seules font partie de F. L'un des deux 

 arcs HK de F est extérieur k c. Ij'autre eontient ,/. On peut, quitte 

 a éehanger les denominations de H et de /v, supposer que ce dernier 

 are est l'are direct KH de F. 



Soit r, la eourbe de Jordan ob^enue en ajoutant a l'are direct 

 KH de r, le segment rectiligne HK. Dans c, F et T, coincident, 

 puisque ces deux courbes différent uniquement par leurs airs directs 

 HK, l'un et l'autre extérieurs k c. 



r, divise le plan en deux regions admettant Tune et l'autre J 

 pour point frontière. Soiont 71/ et iV deux points appartenant respec- 

 tivement k ces deux regions et contenus dans c'. Joignons At et N 

 k J. Soient, a partir de M et de N respectivement, P q[ Q les 

 deux premiers points de rencontre obtenus avec F. Les segments 



9 



Proceedings Royal Acad. Amsterdam. Vol. XXI. 



