130 



MP, NQ étant intérieurs k c' , oü 7^ et r^ coïncident, P et Q sont 

 sur Tj et les segments MP, N^Q n'ont avec [\ d'autres points 

 communs que 7^ et Q. 3fP et NQ n'ont pas de points cominuns 

 entre enx, sauf éventuellement P et Q, si ces points coincident 

 avec J. 



Je dis qne tout point S éti-anger a F peut ètre joint a M on a iV 

 par une ligne brisée ne renconti-ant pas /'. En efTet, d'après le 

 premier corollaire, S pent êlre joint a nn point 'P intérieur a c' 

 et étranger a r. T est, relativement a l\, dans la niême region que 

 M ou que N. Soit P le premier point de rencontre a partir de T, 

 du segment TJ avec V (et avec r, , puisque TJ est dans c'). En 

 vertu dn second corollaire, on pent joindre T a M (ou T a N) 

 par une ligne brisée 7'7', ,1/, ^[ (ou 7'7\ -A^jiV^) étrangère a r,, et 

 intérieure a c, puisque c contient les segments J7/^, N Q, 7'/?, I'nn des 

 deux aics PR et I'un des deux arcs QR. Comme Tare direct H K 

 de r ne pénètre |)as dans c, la méme ligne brisée est sans points 

 communs avec r. Done, r divise le plan en deux regions an j)lns. 



D'ailleurs, M et N sont dans deux regions différentes de F, 

 sinon on ])ourrait joindre ^1/ a JS' par une ligne brisée étrangère a 

 F et située dans c. Done, cette mème ligne ne renconirerait pas 7',, 

 et par suite M et N seraient dans la méme region de r,, ce (jni 

 est fanx par hypothese. 



Done, 7'' divise le plan en deux regions et deux seulement. I^e 

 théorème de Jordan est done démontré. Nons avons au surplus 

 obtenu uu procédé pour définir le coté positif de F en un point J. 

 On se donne c. On en dédnit c' , puis une coi'de H K de F, telle 

 qne ni cette corde, ni l'arc direct H K ne rencontrent c. La conrbe 

 formée par l'arc direct KH de r snivi de Ia corde UK, limite 

 une region contenant le coté positif de la corde H K. Les points 

 de cette region situés dans c' définissent le coté positif de F en J . 



On montre saus difticnlté qne ce coté est indépendant de la corde 

 auxiliaire choisie H K, et que les cotés positifs de 7^ en tons ses 

 points appartiennent a une même region timitée pai- 7' et qne l'on 

 peut appeler region positive do 7''. 



