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hfx =^ «;,« l — ^ 



ai, 



dl 



C^(l+f«,) 



■ ^5'« V 



h^ 



(^9ab,iuii 



diCi 



gab,, + 



+ i:b-(i + .,.,) 



dl 



d9ab„ 



9ab;M 



/*> 



(l) 



oü 



l = kC{—gyit 

 C=ii 2 :S :^' :S gj'g^'^ {ij, Im) ; 



i m f l 



C est l'invariant do courbure totale de Riemann relatif a la forme 

 quadratique différentielle: 



S 2 (fikff'Viifa^k. ........ (2) 



Ou a aussi posé : 



9<lb,/J. 



dgab 

 d.v. 



9ab,y.i 



d'gab 



D'autre part, on a: f;;, ^1, f;,,^^0 (A=|-fi); w indiqne iiiiesom- 



mation étendiie uiix 10 combinaisoiis avec repetition des nombres 

 1, 2, 3, 4 pris 2 a 2. 



En dérivant / par rapport aux </„/,.„ et en permntant les indices, 

 oil oblient ie résnltat suivant: 



dl 



dgab,i. 



f (lil 



^'(-9)'M ' -^)^ ^^ 



h l a L " J ^ 



h l 



\ 



9"" (9'"^ g"' — 9^'' 9^^) 1 



f 9^'-^ (9'"" 9^'' ~ g'^'g'^") t . 



g/xu (gftbglh — g'"g^^) 1 



En dérivant de mêine / par rapport aux (/«6,,/t et en rédnisant les 

 termes seniblables, on obtient: 



JL^.^k{—gf^ (\ - ^Yl - —^ {2giyg^b_ga,gOi -gb^gaiy 



<'9ab.f.i V ^ / V ^ / 



Substitnons ces expressions dans (1), et utilisons la formule: 



Après quelques reductions obtenues en permutant les indices, on 

 a enfin : 



"* a b i h a. 



k 



— - ( -g)i 2:1:^ [g-"'9''^-9'''"9''']9ob:H 



^ a b i 



(3) 



