440 



Snbstituons dans (8) les valeiirs tronvées (7) pour Ie teuseur 

 t,^ -\- T,u. Après derivation et permutations d'indices, on voit que 

 tons les tenues se détruisent deux a deux; on aura donc: 



F. = . . . , (9) 



Ce résultat est indépendant de ^expression choisie /wur ie tenseur 

 gravi/ique ty^.. C'est ce que nous allons demon trer au moj'en de 

 l'identité de Hilbkrt ^), qui peut s'écrire avec nos notations : 



,j y tl -J il*l V 



(10) 



, ¥a\ vertu du principe generalise de Hamilton, les equations ditfé- 

 rentielles gravitiques sont ') : 



V 



OU 



dL 

 Or, on a *) : 



ö'"'(t+') = o 



= -0""' (II) 



o'"^-|:.=(f"Oi''-"'' • • • • <'^' 



d'oü, en vertu de (J 1) 



A' _ 



V ' — \ ^ o 



0"'i = { i_^)i^,„,7;A ...... (13) 



et inversement : 



T,..= 2:(\+e,.)g:-^'U (U) 



IJ- 



En vertu de (IJ), Ie premier membre de l'identité de Hilbert (10) 

 peut s'écrire: 



- (~) ■ 



ydais/M 

 D'autre part, en vertu de (14), Ie second membre de cette iden- 

 tité (10) peut s'écrire : 



d']\^ 



On a donc : 



^) D. Hilbert. Nachrichten Königl. Gesellsch. d. Wiss. Göttingen. Math. phys. 

 Klasse. Heft \i. 1915. (Berlin 1916). 



2) Th. De Donder. Archives Teyler, Haarlem 1917. (Voir equation 339). 

 ■^) Voir equation (353) de mon mémoire, Archives Teyler. 



