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On a posé : 



R = {dx^^a*)^ (27) 



Rappelons enfin que a représente une constante. 



En substitiiant les valeiirs (26) et (27) dans (3), on obtient, après 

 de nombrenses reductions, le résultat suivant : ious les 1,^ (> ,fi =: 1, 2, 3, 4) 

 soiit nnh, snuf t^, qui vaut — R^^. 



Les calculs se trouvent grandement simi^üfiés si Ton remarque que 

 g se reduit a -- 1 dans le clianip considéi-é. 



En déiivant ce determinant par rapport a .<v et ;r,, on obtient la 

 relation : 



2:2:g'^(^gah,u = — ^^9''''''9ai,x (28) 



a b ah 



Grace a (28), le tenseni- gravifique (3j pourra s'écrire: 



f;„ = i 2: y £ JL^'".' g!'^ -f k r^^'' r' J (inb,. + r-" 9'''9ob;n] • » 29) 



a b i 



Pour s'assurer si le tenseur ^',„ d'EiNSTKiN est différent du tenseur 

 hfj., il suffira de calculer /'jj, par exeniple, relatifau cliamp d'EiNSTEiN- 

 ScHWARZscHii-U: tous calculs faits, on trouve (25) que ^',, = /*^/t'/^ 2_ 

 Or ^„ est nul; done, ces deux tenseurs sont (liferents. 



VI. Vakur explicite de ^ t,,. . 



En vertu de (3) et (6), on obtient, en permutant les indices^): 



k 



^ty, — U (— a)V. ^9kh,,,x (/"'' .a9' — .9*' ƒ/-/'') + 



> 4 



k 

 + ^ i—^f'^ ^9r^,i9h,%k{-'^9''^9'i'9'''' + iM;^'V'/'' + 9''^9''' 9^^') - 

 4 



Cette expression se simplifie considérablement si Ton remarque 

 que I'invariant de courbure C peut s'écrire: 



0=^2 gkh,qi {9^^ 9'f'—9^'9'^^) + 



I Ag'-'t^ gl' g^'' — S^"/^ g'^ig'jf^ \ 



-i i ^gq'^,i9h2k I -2g'^Jig<iigi^'' 4 '^g'-'f' gi^'if^ — ^fi^ gr-< g^'^ j . (30) 

 \ -^ 9'^ gf"" 91^^ J 



Si Ton se rappelle la signification de / (voir § 1), on trouvera 

 immédiatement, grace a (30), que: 



(— 9''^ 9^*9*^^ 

 I pqa qki n^h 

 — Igi^'g^^g^^ 



1) Dans les formules qui suivent, le signe S représente des sommes séparées 

 portant respeclivement sur les valeurs 3. 2, 3, 4 de tous les indices qui suivent. 



