27ri 



Mathematics. — ''üeber die Teilkörper des Kreiskörpers K\e ^ 



(Eister Teil). Bj Dr. N. G. W. H. Beeger. (Communicated 

 by Prof. W. Kapteyn). 



(Communicated in the meeting of September 28, 1918). 



Der Zweck des vorliegenden Aufsatzes ist die Untersuchung- aller 



(^\ 



Teilkörper des Kreiskörpers K\e ' J il eine imgerade Piimzahl), iind 

 nameullicli die Bestiminmig ihrer Klassenanzalileii. Ich benütze dabei 

 die Definitioneii uiid Notationeu des Hii.UERT'sL'heu "Bericht über die 

 Tlieoi'ie der algebraischen Zahikörper" ^). 



KüMMER giebt, ohne Ableitnng, die Formel für die Klassenanzahl 



aller Teilkörper des Kreiskörpers K\e ' / ') (/ prim). 



Die Klasseiianzahlen aller Teilkörper des Kreiskörpers K \e ^ 

 sind bis jetzt noch nicht berechnet worden; nnd weil iin allgemeinen 

 die ganze Ableitnng der endgültigen Ansdrücke der Klassenanzahl 



m . 



nnr publicirt ist für den Kreiskörper K\e' / selbst, so gebe ich hier 

 die ganze Herleitung meiner Formeln. 



^ 1 . Einige Bemerkungen über den Karper K 



(,") 



Dieser Körper, den ich weiter andeute durch K{Z), ist ein cycli- 

 scher Körper '). Es sei r eine primitive Wnrzel von V' und es sei 

 .y die Substiintion [Z : Z'), so wird die Siibstitntionsgruppe des Kör- 

 pers vorgestelt durch 



5,5' /~V-1) . (1) 



Die Primzahl / ist im Körper die l^—'^{l — l)-te Potenz eines Prim- 

 ideals i'; 



/ = l'' ^^~^^ l' = (l-Z) 



^) Jahresb. d. D. M. V. Band IV. lm folgenden angedeulel durch die BuchstabeH. 

 2) Crelle Journ. Band 40. 

 '3) H. Satz 128. 



