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2 ist ein Hauptideal ersten Grades. ') 

 Satz 1. 



Die Zerlegungsgruppe des Primideals l^ ist die gauze Gruppe (Ij. 

 Ebenso die Traglieitsgruppe. Die Verzweigungsgruppe ist 



,/-l^ .s2{/-l), . . . _5/'"\/-lJ 



Die eiiimal-iiberstriclieiie Verzweigiingsgnippe ist 



o/(/-l). ,2/(/-l) s/''~^/(/-l) . 



Die A-mal iiberstricliene Verzweigungsgruppe ist 



sl''~\l-i) 



and bestelit also nur aus der identischen Substitution ^;. 



Beweis: Die Zerlegungsgruppe eines Primideals besteht aus alien 

 Substitutionen die das Primideal ungeandert lassen. Nun gilt fur 

 jede Substitution der Gruppe (1): 



5" Ï = s^ {l-Z) = (1 -Z'" ) = P 

 Hiermit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. 

 Die Traglieitsgruppe eines Primideals bestelit aus alien Substituti- 

 onen der Zerlegungsgruppe fur welclie, fur alle ganzen Zalilen i2 

 des Körpers : 



3«52 = 52 (ttW iO (2) 



Jede ganze Zahl i2 des Körpers hat die Form 



i2 = a, 4- a, Z + a,Z» +.... + ««-i ^"~^ 

 wo n = l^-^ (/—I). 



Es wird also notwendig 



s^Z = Z{modï) 

 Es ist aber 



saz —Z=Z (Z- "-1 1) = {mod Ï) 



Hiermit ist der zweite Teil des Satzes bewiesen. 



Der Grad der Verzweigungsgruppe ist eine Potenz von /, es sei 

 l^ und 



rausz ein Teiler sein von /—I well der Grad ƒ von 2 gleich eins 

 ist'). Also ist b = h — 1, und 



1) H. Satz 120. 



*) Dieser Satz ist Satz 129 von Hilbert ; enlhalt aber bei Hilbert einen Fehler. 



S) H. Satz 71. 



