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r„ =: /''-I 

 Nun musz jioch gezeigt werden, dasz fur jede ganze Zahl i2 des 

 Körpers 



sbil-i) i2 = ^ (mod t*). 

 Hieraus geht hervor : 



sf>{l-nZ=Z(mod\i') 

 Es i«t 7A'-i) = l (mod /). Wir können dalier setzen rH^—^l = 1 -}- y/ 

 und est is also 



s'^^-'^Z- Z = Z'-"''-''- Z = Z iZ"' —l) = 



= Z{Z'^-'l){Z"+i''~^-\) (Z''+('-i)'^~^-l) .... (3) 



Hieraus geht hervor 



si^ii-i) Z-Z=Q{mod Ï') 

 weil jeder Factor rechter Hand von (3) teilbar istdurch(l — Z)=iL 

 Hiermit ist der Satz der Verzweigimgsgruppe bewiesen. 



Wenn wir die einnial iiberstrichene Verzweigungsgruppe bestimmen 

 wollen, mussen wir den gröszten Exponenlen L von I' bestimmen 

 tnr welchen fur jede Substitution dei' Verzweigungsgruppe gilt: 



sb(l-i)£^^Si'{mod2^^)') 

 Hieraus ergibt sich 



af'ii-i) Z—Z=0(ino<f^^L). 

 und es sei r''''-^ ' = 1 -\- vl 



Weil fur die Zahlen ^ = 1,2,.... / '' ^ nicht alle Zahlen v durch 

 / teilbar sind, kann nichi fur jede Zahl b das Product aus (3) noch 

 weiter zerlegt werden. Hieraus folgt 



Nur wenn v^^O[modl) ist, so kann jeder Factor aus (3) wiederum 

 in /-Factoren zerlegt werden. Fur diese Werte von b ist also 

 L=zl'. Die einmal iibersti-ichene Verzweigungsgruppe ist also: 



,/(/-!) , 52/(/-l) 3^^-2^{/-l) 



und 



r- = ZA-2 

 Die zweimal iiberstrichene Verzweigungsgruppe ist 



,/^/-l), ,21^(1-1) ,/^-3/2(/-l) 



und 



r- =//'-3 



I' 



1) H. § 44. 



