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Wenn man anf diese Weise das Pi'odiict recliter Hand von (3) 

 weiter zerlegt, so findet man den weiteren Bevveis des Satzes. 



Satz 2. 



Ist P ein von P verschiedenes Priniideal von K{Z), dann ist die 

 Zerleg u n gsg ru p pe 



wenn ƒ der Grad des Primideals ist, und e/== I'' -'^ {I — 1). 



Die Traglieitsgrn[)pe beslehi nur ans der identischen Substitution ^). 



Beweis: Es sei p die rationale Primzalil, die durch \|) teilbar ist. 

 In K{Z) gilt: 



WO ]>{, e verschiedene Primideale sind. Es ist also P eins dieser. 

 Hierans gelit hervor. dass es e und niclit melir als e Snbstitutionen 

 giebt die das Ideal <^ in ein anderes überführen. Die Zerlegu!)gsgruppe 

 besteht also aus f Snbstitutionen. Daher ist es die im Theorem ange- 

 gebene Gruppe. 



Es sei nun 6'"« eine Substitution der Traglieitsgruppe, so niusz 

 für alle ganzen Zahlen i2 von K{Z) -. 



aae i2 = 52 {mod P). 



also 



s^>^ ZEE:Z{mod'^). 

 Es ist aber 



sce Z — Z = Z'"'- Z=Z{Z~l) 



Diese Zahl ist nicht teilbar durch ^13, es sei denn dasz a =: O ist; 

 denn (1 — Z-=:'i und der Bruch ist eine Einheit*). Die Tragheits- 

 gruppe besteht also nur aus der identischen Substitution. 



§ 2. Die Teilkörper von K{Z). 



Es ist K ein cyclischer Körper. Daher ist jede Untergruppe auch 

 cyclisch und jeder Unterkörper ein cyclischer Körper. Ohne Ein- 

 schrankung der Allgemeinheit können wir uns beschranken auf die 

 Untersuchung Primarer Teilkörper") das siud solche, die nicht zugleich 

 Teilkörper sind eines Kreiskörpérs niedrigeren Grades. 



Es sei 



s", s2^, . . . . s^« ahz= l'>-^{l—\) 



1) H. Satz 129. 



2) H. Satz 122. 



S) H. Beweis des Satzes. 120. 



*) Weber, Algebra 11 pag. 77 etc. (2te Auflage). 



