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eine Untergruppe von (1). Diese ist primar, iind nur dann, wenn 

 keine der Zahlen 



' 1 ' t . . . . t 7 



der Einheif congruent ist {mod l'^—^). Und dies ist dann und nur 

 dann der Fail, wenn a teilbar ist durcii l''~^. Jede primiire Unter- 

 gruppe liat also die Form 



ih — 1 n ih — 1 ,,h 1 , , 



5«' . 6-2^' ^ . . . s"*' ab -" I— I 



Den Teilkör[)er, der zu dieser Gruppe gehort, stelle ioh weiter 

 vor durcli k. 



Der Grad der Körpers ist a/''~^ 



1] = Z'" -f Z'-^" 4 . . . . + Z'-^" ; c = a/'»-! 

 ist eine den Karper bestlmmende Zahl^). 

 Die Substitiitionen des Teilkörpers k sind 



B, s^, . . . . sc. 

 iSa/^: 3. Zerlegungssatz. 



1st p eine von / verscliiedene rationale Priuizalil und /der kleinste 

 positive Exponent, fur welclien pf^\ {mod A) ausfallt, und wird 

 ef= l''~ \l — 1) gesetzt, so findet in k die Zerlegung 



P — \\\\.... VV 



V 



V 



statt, wo i\ von einander verschiedene Primideale — ten Grades in 



e 



k sind. V ist das kleinste gemeinsame Vielfaclie von e und c. 



Beweis: Es sei ^ ein in /; aufgelieiides Primideal des Körpers 

 K{Z). Die Substitutionen, welclie die Zerlegnngsgruppe von ^ ge- 

 meinsani liaben mit der Untergruppe (4), sind 



S", «2,-^ 56/ _ (5) 



Diese Substitutionen musz man niultiplieiren mit den Substitutionen 

 der Gruppe 



um die gauze Untergruppe (4) zu bekommen. 



Die letzte Substitutionen geboren also nicht zu der Zerlegnngs- 

 gruppe. 



Die Zahlen, welche des Ideal ^ und der Körper k gemeinsam 

 haben, bilden ein Ideal p. Nehmen wir an, es sei p in k kein Primi- 

 deal, und in k also p = "j. r. Es ware also in kv teilbar durcli k\, 

 und in K würde also p(?> =:r .t(?> . r^ wenn C^> das Ideal aller ganzen 



^) Weber, pag. 85. 



