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Zalilen voii A^ ist. Wahrend aber p© diircli ^^ teilbar ist, so musz 

 q© teilbar sein durcb 'iP. Also würde in ^i teilbar sein diirch p. 

 Hieraus würde sich ergeben p = q, also r = © iind dies ist nicht 

 angenommen. Also ist p in k ein Primideal. 



Nnn ist p©, auszer durcli P, aiu'li teilbar diirch die Primideale 



SC P, 52<^ l\ .. . . S"p . (6) 



Diese sind alle von einander verschieden, weil keine der Substi- 

 tiitionen zu der Zerlegiingsgruppe geliört. p© ist also teilbar durch 

 ilir Product. Wir werden nun zeigen, dasz p durcli kein anderes 

 Primideal ']3' teilbar ist. Nehmen wii- an, dasz dies wohl der Fall 

 sei. Es besteht eine Zald A von K, die teilbar ist durch das Pioduct 

 77 der Ideale (6) aber nicht durch ^p' : 



A=z no.. 



Es ware dann 



s''A = s^n . s<-- Cl oder 



s'^A .= 77 . sc £) 

 Es sei 11,- die reiativ-Norm in Beziehung zu k: 



7i,{A) = m . 7l,.{0.) 



Das erste Glied ist eine Zalil von k, die teilbar ist durch ^, und 

 also auch durch p. Das zweite Glied ist aber nicht teilbar durcli P' 

 und kann also auch nicht durch p teilbar sein. Dies ist unmöglich. 

 Hieraus geht hervor, dasz p durch kein anderes Primideal ^' teilbar ist. 



Das Primideal p kann weiter nicht teilbar sein durch das Quadrat 

 eines der Primideale (B), denn in diesem Falie würde p in K auch 

 durch ein Quadrat teilbar sein und das ist nicht der Fall. Hiermit 

 ist der erste Zeil des Satzes bewiesen. 



Um auch den Grad der Primideale zu bestimmen, bemerke man, 

 dasz ans 



p .— s<- |\ . s2'' \p . . . . g"\\ folgt : 

 il -i^' 



Ar(p (3)) =//(!))<- — ^c 1) 



Es ist aber A' (p©) = n(p)'' , wenn ?i die Norm in k vorstellr. 

 Hieraus ergibt sich 



n(p) = p'"" = p « . 



Sdtz 4. Zerhgungssatz. 



Die Primzahl / gestattet in k die Zerlegung 



1) H. Satz. 122. 



