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hieraus fblgeni wir uiimittelbar, da8S C;y{kp) = ^ für jedes r, jedes A, 

 jedes F iind jedes jp. 



^ 4. Wir l)ezeichneii eineii willkiu'lich gewalilteu isolierten Rand 

 von ii mit q, die Menge der iibrigen Rander voii 5i mit R\ und 

 betrachten die sicli urn R' aperiodisch herumwindende Ueberlage- 

 rungsflache S von i2. Diese Flaclie S ist eineindeutiges und stetiges 

 Bild der Oartesischen Ebene; '\\\v Rand R" enthalt einen ans q 

 hervorgegangenen Teil R^" nnd einen aus R\ hervorgegangenen 

 Teil R^\ diese beiden Teile sind voneinander isoliert. 



Sei P ein Punkt von ü in der LTmgebnng von (>, P, sein von l' 

 bestimmtes Bild. Wir verbinden P nnd /*, in der Umgebung von 

 9 dnrcli einen solchen stetigen Kurvenbogen jp, welclie mit seinen 

 von t' ,t'^,. . . .l'^^~^ bestim m ten Bildern eine geseldossene stetige Kurve 

 kp erzengl, deren ünilaiifkoeffizient zwischen zwei willkiirlichen 

 Randern von Ü fortfallt. Die Möglichkeit, einen derartigen Kurven- 

 bogen /p liei-znstellen, folgt aus ^3. Sei Z-*,,! der Anfangspunkt, P\,n 

 der Endpunkt eines Ueberlagerungsbildes von jp auf S, so existiert 

 eine durch die Ueberlagerung von S über ii in /' übergeiiende, ein- 

 eindeutige und stetige Transformation /" von *S in sieli, vvelche P,,, 

 in Pi„, überfiilii't. Alsdann lasst die Transformation /"" den Punkt 

 P,rt invariant, so dass t", ebenso wie t' , 7i-periodiscli sein muss. 

 Hiermit sind wir aber zu einem Widerspruch gelangt, weil eine 

 periodisclie, eineindeutige und stetige Transformation der Cartesisclien 

 Ebene in sicli oline invariante Punkte nicht existieren kann. 



^ 5. lm Falie, dass t die Indikatrix von O invariant lasst und 

 von einer vollstandigen kanonischen Zerschneidung von O jeden 

 Rückkehrschnitt samt seinen beiden Seiten ungeachtet der Rander 

 aquivalent abbildet, besilzt / dieselbe Eigenschaft in bezug auf o) (was 

 unmittelbar wie folgt eingesehen werden kann : Sei .v ein Rückkehr- 

 schnitt von to, der uy jiicht zerlegt, so entspricht einer stetigen 

 Variierung von .s' in O, wenn die Rander von tu je in einen zu ix) 

 hinzuzufügenden Punkt zusammengezogen werden, eine stetige Vari- 

 ierung von s in to). Ware nun io samt seiner Grenze nicht identisch 

 mit O, so besasse to einen durch eine zusammenhlingende perfekte 

 Menge von für t invarianten Punkten ahgeschlossenen Rand und 

 würde auf Grnnd davon die in den §§ 3 nnd 4 hinsichtlich der 

 Transformation t' von 12 angestellte, auf einen Widerspruch führende 

 Ueberlegung auch ini Falie, dass in co kein Rilckkehrschnittpaar 

 (^v, b;) nnd nur zwei Rander existieren, in Kraft bleiben. Mithin ist 

 in diesem Falie io samt seiner Grenze mit O identisck and O entweder 

 eine Kugel, oder ein Zylinder, oder eine Cartesische Ebene, ader 

 ein Torus. 



