Mathematics. — " Ueher die Tellkörper des Kreiskörpers k\e y." 

 (Diitter Teil) '). By Dr. N. G. W. H. Beeger. (Commnnicated 

 by Prof. W. Kapteyn). 



(Communicated in the meeting of November 1918). 



Der Ausdruck für die Klassenanzalil der primaren Teilkörper liat 

 die Form eiïies Productes zvveier Brüclie, wenii h eine nngerade 

 Zahl ist. Ebenso wie es der Fall ist niit der Klassenanzahl des Kreis- 

 körpers der l/'-ten Einiieilswiirzeln selbst, sind aucli hier die zwei 

 Brüche gaiize Zaiileii. loli will dies iiiei' beweisen. mul iienne dabei 

 die Brüche den ersten, resp. zweiten, Factor der Klassenanzahl. 



Zuerst beweise ich einen Hülfssatz. 



Hul f s sat z 1. 



Jedes System von Grundeinheiten eines primaren Teilkörpers, in 

 Bezng auf weiehes der Kreiskörper selbst den Relativgiad 2/> hat, 

 ist auch ein System von Grundeinheiten des primaren Teilkörpers, 

 in Bezng auf welches der Kreiskör[)er selbst den Relativgrad h hat, 

 wenn h eine ungerade Zahl ist. 



Beweis : 



Wir nennen den ersten Teilkörper k und den zweiten K. Es ist 

 dann k ein Teilkörper von A^. Der Grad von K ist c ; der von k 

 ist dann ^c und bc = (p (/''~^). Wir zeigen erst dasz k in K zu der 

 Substitution 



sVs'"-, WO s = {Z : Z'), gehort. 



(?• eine primitive Wurzel von /''). 



Die, den Körper /v erzengende, Zahl ist: 



,.€ J2.C ybc 



riK = Z' + Z' + ..■+^' 

 Also ist 



* '» Vk= ^ + -^ -r • ' -r Z . . . (1) 



Nach einer kleinen Rechnung ergibt sich : 



..V-c ^%c ,.(26— DVïC 



Die, den Körper k erzeugende, Zahl ist- 



rV,c 2.V.C r(2ö-l)V.c 



vk = Z + Z' ']-'.. -{- Z 



1) Fortselzung von „Proceedings" XXI Seite 454 and Seite 758. 



