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Satz 3. 



Der er«te Factor der Klasseiianzalil des Teilkörpers, für welcheii 

 die Zalil b ungerade ist, ist ein Teller der Klasseiiaiizalil des Kreis- 

 körpers (der /''-ten Elnheitswurzeln) selbst. 



Beweis: Der erste Factor der Klassenaiizalil des Kreiskörpers 

 selbst, ist : ') 



n s /-'('-i),, 



u t=l 



WO, zur Abkürziuig </ den Wert der Function (f{l'') vorstellt, und 

 das Product sich erstreckt iiber alle Zalilen J, 3, . . . . <f — J. Man 

 weisz dasz der Brucli einer ganzen Zahl gleicli ist. Die im Zahler 

 auftretende Summe bringen wir in die tblgende Form 



2Tiuti 2jtu{t-\-c)i 2mi{t-\^{b—l)c)i 



i U '^' r, + ^ 'f r,+, -f- . . . 4 '' 'f r,^(b - 1 ) J 



Fitr die Werte 



71 = hu' II' =z 1,3, . . . c — J 

 hat diese Sunmie denselben Wert wie die Suninie welclie auftrift 

 im Zahler des ersten Factors der Klassenanzahl des Teilkörpers des 

 Relativgrades b. Der letztgenannte Zahler ist daher ein Teller des 

 Zahlers des Kreiskörpers selbst. Der Quotient der beiden ersten 

 Factoren der Klassenanzahien ist nun 



2jtuti 



n i e 'r r, (3) 



WO 71 alle ungeraden Zahlen 1,3,.... <f — 1 durchlauft die nicht durch 

 b teilbar sind. Es ist weiter: 



2jiui 2jtuü 2:!ru{t-\-\)i 



f 



{re 'P -\) ± e 'P ri= 21 e 'P (m-r, + i) 



und r)'t — ?v+i ^ O {mod /''). 

 Anch ist: 



2nx 



1^ Hire 



n{re '(' -1) = ^ 



•i 'I' + 1 



2nui ric -|- 1 



n{re "P -\) 



u' 



1) H. Salz 141. 



